Đặt `A = n^2024 + n^7 + 1`

Với `n = 0` thì `A = 0^2024 + 0^7 + 1 = 1`

`->` Số `1` không phải là số nguyên tố

Với `n = 1` thì `A = 1^2024 + 1^7 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3`

`->` Số `3` là số nguyên tố

Ta có:

`A = n^2024 + n^7 + 1` `(n >= 2)`

`A = (n^2024 - n^2) + (n^7 - n) + (n^2 + n + 1)`

`A = n^2(n^2022 - 1) + n(n^6 - 1) + (n^2 + n + 1)`

Ta lại có: `n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)`

`=> n^3 - 1 vdots n^2 + n + 1`

Vì `2022 vdots 3` `(2022 = 3 * 674)`

Nên `n^2022 - 1 = (n^3)^674 - 1 vdots n^3 - 1`

`=> n^2022 - 1 vdots n^2 + n + 1`

`=> n^2(n^2022 - 1) vdots n^2 + n + 1`

Vì `6 vdots 3` `(6 = 3 * 2)`

Nên `n^6 - 1 = (n^3)^2 - 1 vdots n^3 - 1`

`=> n^6 - 1 vdots n^2 + n + 1`

`=> n(n^6 - 1) vdots n^2 + n + 1`

`=> A = n^2(n^2022 - 1) + n(n^6 - 1) + (n^2 + n + 1) vdots n^2 + n + 1`

Để `A` là số nguyên tố thì `A` chỉ có hai ước là `1` và chính nó

Nên một trong các ước của `A` phải bằng `1`

Với `n >= 2` thì `n^2 + n + 1 >= 2^2 + 2 + 1 = 7 > 1`

`=> A / (n^2 + n + 1)`

Vì `n >= 2` nên `n^2024 > n^2` và `n^7 > n`

`=> n^2024 + n^7 + 1 > n^2 + n + 1`

`=> A / (n^2 + n + 1) > 1`

`=>` `A` là một hợp số

Vậy giá trị tự nhiên duy nhất của `n` để `n^2024 + n^7 + 1` là số nguyên tố là `n = 1`.