Bài 1:

Đặt `A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100`

`A = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) + (2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^10) + ... + (2^96 + 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100)`

`A = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + 2^6(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + ... + 2^96(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)`

`A = 2 * 31 + 2^6 * 31 + ... + 2^96 * 31`

`A = 31 * (2 + 2^6 + ... + 2^96)`

Vì `31 vdots 31` nên `31 * (2 + 2^6 + ... + 2^96) vdots 31`

Vậy `A vdots 31`

Bài 2:

Cách 1:

Ta có:

`17^3 - 1 = (17 - 1)(17^2 + 17 + 1) = 16 * (289 + 17 + 1) = 16 * 307`

Vì `16 * 307 vdots 307` nên `17^3 - 1 ≡ 0 (mod 307)`

`=> 17^3 ≡ 1 (mod 307)`

Áp dụng vào tổng `S`:

`S = (17 + 17^2 + 17^3) + (17^4 + 17^5 + 17^6) + ... + (17^16 + 17^17 + 17^18)`

`S = (17 + 17^2 + 17^3) + 17^3(17 + 17^2 + 17^3) + ... + 17^15(17 + 17^2 + 17^3)`

Xét tổng của 3 số hạng đầu:

`17 + 17^2 + 17^3 = 17 + 289 + 4913 = 5219`

Mà `5219 = 17 xx 307`

`=> 17 + 17^2 + 17^3 ≡ 0 (mod 307)`

Khi đó:

`S ≡ 0 + 17^3 * 0 + ... + 17^15 * 0 (mod 307)`

`S ≡ 0 (mod 307)`

`=> S vdots 307`

Cách 2:

`S = 17 + 17^2 + 17^3 + ... + 17^18`

`S = (17 + 17^2 + 17^3) + (17^4 + 17^5 + 17^6) + ... + (17^16 + 17^17 + 17^18)`

`S = 17(1 + 17 + 17^2) + 17^4(1 + 17 + 17^2) + ... + 17^16(1 + 17 + 17^2)`

`S = 17 * 307 + 17^4 * 307 + ... + 17^16 * 307`

`S = 307 * (17 + 17^4 + ... + 17^16)`

Vì `307 vdots 307` nên `307 * (17 + 17^4 + ... + 17^16) vdots 307`

Vậy `S vdots 307`