Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{1}.$

$\textbf{a}\bigg)$ Sai đề

$\begin{array}{l} & 5^{n + 2} + 5^{n + 1} + 2^{n + 5} - 2^n
\\ &= 5^2 \cdot 5^n + 5 \cdot 5^n + 2^5 \cdot 2^n - 2^n
\\ &= 5^n(5^2 + 5^1) + 2^n (2^5 - 1)
\\ &= 30 \cdot 5^n + 31 \cdot 2^n \end {array}$

Dễ thấy $30 \cdot 5^n$ không chia hết cho $31$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ nên toàn bộ biểu thức không chia hết cho $31$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$

$\textbf{b}\bigg)$

$\begin{array}{l} & 4^{n + 3} + 4^{n + 2} - 4^{n + 1} - 4^n
\\ &= 4^3 \cdot 4^n + 4^2 \cdot 4^n - 4 \cdot 4^n - 4^n
\\ &= 4^n (64 + 16 - 4 - 1)
\\ &= 4 \cdot 4^{n - 1} \cdot 75
\\ &= 300 \cdot 4^{n - 1} \end {array}$

Vì $300 \cdot 4^{n - 1}$ chia hết cho $300$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ nên biểu thức ban đầu chia hết cho $300$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$

$\textbf{2}.$

Ta có: $f(x) =ax^2 + bx + c$ chia hết cho $3$ với mọi $x$

Do đó:

$\bullet$ $f(0) = c$ chia hết cho $3$, suy ra $c$ chia hết cho $3$

$\bullet$ $f(1) = a + b + c$ chia hết cho $3$ nên $a + b$ chia hết cho $3$

$\bullet$ $f(-1) = a - b + c$ chia hết cho $3$ nên $a - b$ chia hết cho $3$

Suy ra $f(1) + f(-1) = 2a$ chia hết cho $3$

Vì $Ư CLN(2, 3) = 1$ nên để $2a$ chia hết cho $3$ thì $a$ phải chia hết cho $3$

Mà $a + b$ chia hết cho $3$ nên $b$ cũng phải chia hết cho $3$

Vậy $a, b, c$ chia hết cho $3$