1
Giả sử $\sqrt{7} = \dfrac{m}{n}$ ($m,n \in \mathbb{N}^*$, $(m,n)=1$).
$\Rightarrow m^2 = 7n^2$.
$m^2 \vdots 7 \Rightarrow m \vdots 7$. Đặt $m=7k$.
$(7k)^2 = 7n^2 \Rightarrow 49k^2 = 7n^2 \Rightarrow 7k^2 = n^2$.
$n^2 \vdots 7 \Rightarrow n \vdots 7$.
Do $m \vdots 7$ và $n \vdots 7$ nên $(m,n) \neq 1$. Mâu thuẫn với giả sử.
Vậy $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

2

a)
VT $= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$
$= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$
$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$
$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$= \text{VP}$. (ĐPCM)

b

Từ câu a) ta có: $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$.
Vì $(ad-bc)^2 \ge 0$, nên $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$. (ĐPCM)
Dấu "=" $\Leftrightarrow ad=bc$.

3.
$S = x^2+(2-x)^2$
$S = x^2+4-4x+x^2$
$S = 2x^2-4x+4$
$S = 2(x^2-2x+1)+2$
$S = 2(x-1)^2+2$.
Vì $(x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow 2(x-1)^2 \ge 0$.
$\Rightarrow S \ge 2$.
Min $S = 2$ khi $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$.
Khi $x=1$, $y=2-1=1$.
Vậy Min $S = 2$ khi $x=y=1$.

4
Ta có $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$.
$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b \ge 0$.
$\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. (ĐPCM)
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b$.

b
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương:
$\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{a} \cdot \dfrac{ca}{b}} = 2c$. (1)
$\dfrac{ca}{b} + \dfrac{ab}{c} \ge 2\sqrt{\dfrac{ca}{b} \cdot \dfrac{ab}{c}} = 2a$. (2)
$\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ab}{c} \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{a} \cdot \dfrac{ab}{c}} = 2b$. (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
$2\left(\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} + \dfrac{ab}{c}\right) \ge 2a+2b+2c$.
$\Leftrightarrow \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} + \dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$. (ĐPCM)
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$.

c
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương $3a$ và $5b$:
$3a+5b \ge 2\sqrt{3a \cdot 5b}$
$12 \ge 2\sqrt{15ab}$
$6 \ge \sqrt{15ab}$
$36 \ge 15ab$
$ab \le \dfrac{36}{15} = \dfrac{12}{5}$.
Max $P = \dfrac{12}{5}$ khi $3a=5b$.
Ta có $\begin{cases} 3a=5b \\ 3a+5b=12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a=5b \\ 5b+5b=12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a=5b \\ 10b=12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=\dfrac{6}{5} \\ 3a=5 \cdot \dfrac{6}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=\dfrac{6}{5} \\ 3a=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=\dfrac{6}{5} \\ a=2 \end{cases}$
Vậy Max $P = \dfrac{12}{5}$ khi $a=2, b=\dfrac{6}{5}$