Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}$

Mà $\widehat{ABH} = \widehat{ABC}$

$\Rightarrow \tan \widehat{ABC} =\tan \widehat{ABH} = \dfrac{AH}{BH}$

Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{CAH} = \dfrac{CH}{AH}$

Mà $\widehat{ABC} = \widehat{CAH}($cùng phụ với $\widehat{ACH})$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}$

$\Rightarrow AH^2 = CH \cdot BH$

$\textbf{b}\bigg)$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{AH \cdot BC}{2}$

$\Rightarrow AB \cdot AC = AH \cdot BC$

$\Rightarrow AH^2 = \dfrac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}= \dfrac{BC^2}{AB^2 \cdot AC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{AB^2 + AC^2}{AB^2 \cdot AC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$