Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài $\textbf{5}:$

Cho $\triangle ABC$ có $BC = a, AC = b$ và $\alpha = \widehat{ACB}$

Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle ABC$

Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$, ta có:

$\sin \widehat{ACH} = \dfrac{AH}{AC}$

$\Rightarrow AH = AC \sin \widehat{ACH} = b \sin \alpha$

$\Rightarrow S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC = \dfrac{1}{2}ab \sin \alpha$

Bài $\textbf{6}:$

Cho tứ giác $ABCD$ có $AC = m$ và $BD = n$

Kẻ đường cao $AH$ và $CK$ của $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

$\Rightarrow \widehat{AIH} = \widehat{CIK} = \alpha$

Xét $\triangle AIH$ vuông tại $H$, ta có:

$\sin \widehat{AIH} = \dfrac{AH}{AI}$

$\Rightarrow AH = AI \sin \alpha$

Xét $\triangle CIK$ vuông tại $K$, ta có:

$\sin \widehat{CIK} = \dfrac{CK}{CI}$

$\Rightarrow CK = CI \sin \alpha$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{ABCD} &= S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}
\\ &= \dfrac{1}{2}AH \cdot BD + \dfrac{1}{2}CK\cdot BD
\\ &= \dfrac{1}{2}BD (AH + CK)
\\ &= \dfrac{1}{2}BD (AI \sin \alpha + CI \sin \alpha)
\\ &= \dfrac{1}{2}BD \sin \alpha (AI + CI)
\\ &= \dfrac{1}{2}AC \cdot BD \sin \alpha
\\ &= \dfrac{1}{2}mn \sin \alpha\end{array}$