Bài toán: Cho 2024 số nguyên dương a_{1},a_{2},...,a_{2024} thỏa mãn:

\frac{1}{a^{2}_{1}} + \frac{1}{a^{2}_{2}} + ... + \frac{1}{a^{2}_{2024}} ≥ 6

Chứng minh rằng trong 2024 số đó, luôn tìm được ít nhất bốn số bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử phản chứng rằng không có 4 số nào bằng nhau trong 2024 số đã cho. Điều này có nghĩa là mỗi giá trị số nguyên dương chỉ xuất hiện tối đa 3 lần.

Ta có:

\sum ^{2024}_{i=1}\frac{1}{a^{2}_{i}} ≥ 6

Để tổng này lớn hơn hoặc bằng 6, chúng ta cần xem xét các giá trị nhỏ của a_{i}.

Nếu có n_{1} số bằng 1, n_{2} số bằng 2, n_{3} số bằng 3, …, thì:

\frac{n_{1}}{1^{2}} + \frac{n_{2}}{2^{2}} + \frac{n_{3}}{3^{2}} + ... ≥ 6

Vì không có 4 số nào bằng nhau, nên n_{i} ≤ 3 với mọi i.

Giả sử có x_{i} số bằng i, với i = 1,2,3,... và x_{i} ≤ 3. Ta có tổng số các số là 2024:

\sum ^{\infty }_{i=1}x_{i} = 2024

Ta cần chứng minh rằng:

\sum ^{\infty }_{i=1}\frac{x_{i}}{i^{2}} ≥ 6

Xét các số nhỏ nhất:

• Số 1: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{1^{2}} = 3

• Số 2: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{2^{2}} = \frac{3}{4} = 0.75

• Số 3: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{3^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ≈ 0.33

• Số 4: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{4^{2}} = \frac{3}{16} = 0.1875

• Số 5: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{5^{2}} = \frac{3}{25} = 0.12

• Số 6: tối đa 3 số ⇒ \frac{3}{6^{2}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} ≈ 0.083

Nếu ta chỉ dùng các số 1, 2, 3 thì tổng lớn nhất có thể là 3 + 0.75 + 0.33 = 4.08, vẫn chưa đủ 6.

Xét một trường hợp khác, để tổng \frac{1}{a^{2}_{1}} + \frac{1}{a^{2}_{2}} + ... + \frac{1}{a^{2}_{2024}} ≥ 6 đạt được, ta cần nhiều số nhỏ.

Giả sử có 3 số 1, 3 số 2, 3 số 3, …, 3 số k.

Số lượng số là 3k.

Ta cần tìm k sao cho 3k ≤ 2024.

Tổng là 3(\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{k^{2}}).

Khi k tiến đến vô cùng, tổng \sum ^{\infty }_{i=1}\frac{1}{i^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6} ≈ 1.6449.

Vậy 3 × 1.6449 ≈ 4.9347 < 6.

Vậy nên phải có ít nhất một số i nào đó mà x_{i} ≥ 4.

Vậy điều giả sử phản chứng là sai. Do đó, trong 2024 số đó, luôn tìm được ít nhất bốn số bằng nhau.

Đây là kết quả cuối cùng.

Lưu ý: Thông tin trên chỉ mang tính chất tham khảo, bạn nên kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác.