Đáp án + Giải thích các bước giải:

$n^{10} + 1$ chia hết cho $10$

Vì một số chia hết cho $10$ sẽ có tận cùng là $0$ nên $n^{10} + 1$ có tận cùng là $0$

Do đó $n^{10}$ có tận cùng là $9$

Mà $n^{10} = (n^5)^2$ nên $(n^5)^2$ có tận cùng là $9$

Để một số bình phương lên có tận cùng là $9$ thì số đó có tận cùng là $3$ hoặc $7$

Suy ra $n^5$ có tận cùng là $3$ hoặc $7$

Như vậy $n$ phải là số lẻ, hay $n$ có tận cùng là $1, 3, 5, 7$ hoặc $9$

Nhận xét:

$-$ Nếu $n$ có tận cùng là $1$ thì mọi luỹ thừa của $n$ đều có tận cùng là $1$

$-$ Nếu $n$ có tận cùng là $5$ thì mọi luỹ thừa của $n$ đều có tận cùng là $5$

$-$ Nếu $n$ có tận cùng là $9$ thì $n^5$ có tận cùng là $9$

Do đó $n$ có tận cùng là $3$ hoặc $7$

Vậy $n$ là một số tự nhiên bất kỳ có tận cùng là $3$ hoặc $7$