Bài 1:

Đặt `g(x) = x*f(x) + 2`

Vì `f(x)` là đa thức bậc `2010`

Nên `x*f(x)` là đa thức bậc `2011`

`=> g(x)` là đa thức bậc `2011`

Vì `f(k) = -2/k` `(k = 1, 2, 3, ..., 2011)`

Nên `k*f(k) = -2 <=> k*f(k) + 2 = 0`

`=> g(k) = k*f(k) + 2 = 0` `(k = 1, 2, 3, ..., 2011)`

Vì `g(x)` là đa thức bậc `2011`

Nên `g(x) = C(x-1)(x-2)...(x-2011)` với `C` là một hằng số

`=> x*f(x) + 2 = C(x-1)(x-2)...(x-2011)`

Xét `x = 0` ta có:

`0*f(0) + 2 = C(0-1)(0-2)...(0-2011)`

`2 = C*(-1)(-2)...(-2011)`

`2 = C*(-1)^2011 * (2011!)`

`2 = C*(-1) * (2011!)`

`C = -2 / (2011!)`

`=> x*f(x) + 2 = (-2 / (2011!)) * (x-1)(x-2)...(x-2011)`

Thay `x = 2012` vào phương trình trên ta được:

`2012*f(2012) + 2 = (-2 / (2011!)) * (2012-1)(2012-2)...(2012-2011)`

`2012*f(2012) + 2 = (-2 / (2011!)) * (2011)(2010)...(1)`

`2012*f(2012) + 2 = (-2 / (2011!)) * (2011!)`

`2012*f(2012) + 2 = -2`

`2012*f(2012) = -4`

`f(2012) = -4 / 2012`

`f(2012) = -1 / 503`

Vậy `f(2012) = -1/503`

Bài 2:

`x^2 - x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 2x + 4)`

`=> x^2 - x + 1 = x^2(x^2 + 2x + 4) + x(x^2 + 2x + 4) + 1(x^2 + 2x + 4)`

`=> x^2 - x + 1 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x^3 + 2x^2 + 4x + x^2 + 2x + 4`

`=> x^2 - x + 1 = x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 6x + 4`

`=> x^4 + 3x^3 + 7x^2 - x^2 + 6x + x + 4 - 1 = 0`

`=> x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 7x + 3 = 0`

Nhận thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ:

`(1 + 6 + 3) = (3 + 7) = 10`

Nên phương trình có một nghiệm `x = -1`
Ta có:

`x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 7x + 3`

`= (x+1)(x^3 + 2x^2 + 4x + 3)`

`= 0`

Xét đa thức `x^3 + 2x^2 + 4x + 3` ta có:

Vì `(-1)^3 + 2(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -1 + 2 - 4 + 3 = 0`

Nên đa thức này cũng có một nghiệm `x = -1`

Ta lại có:

`x^3 + 2x^2 + 4x + 3` 

`= (x+1)(x^2 + x + 3)`

`= 0`

Suy ra:

`(x+1)(x+1)(x^2 + x + 3) = 0`

`(x+1)^2 (x^2 + x + 3) = 0`

`=> [((x+1)^2 = 0),(x^2 + x + 3 = 0):}`

Trường hợp 1: `(x+1)^2 = 0 <=> x + 1 = 0 <=> x = -1`

Trường hợp 2: `x^2 + x + 3 = 0`

`Delta = 1^2 - 4*1*3 = 1 - 12 = -11 < 0`

Vì `Delta < 0` nên phương trình `x^2 + x + 3 = 0` vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là `x = -1`