Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài $\textbf{3}.$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, ta có:

$\cos \widehat{ABH} = \dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = BH \cdot BC$

$\Rightarrow 20^2 = BH(BH + 9)$

$\Rightarrow BH^2 + 9BH - 400 = 0$

$\Rightarrow (BH + 25)(BH - 16) = 0$

$\Rightarrow BH = 16$

Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, ta có:

$AH^2 + HB^2 = AB^2($định lý Pythagore$)$

$\Rightarrow AH^2 + 16^2 = 20^2$

$\Rightarrow AH^2 = 20^2 - 16^2 = 144$

$\Rightarrow AH = 12(cm)$

Bài $\textbf{4}.$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}$

$\Rightarrow \tan\widehat{ABC} = \dfrac{7}{5}$

$\Rightarrow \tan \widehat{ABH} = \dfrac{7}{5}$

Mà trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{ABH} =\dfrac{AH}{HB}$

$\Rightarrow \dfrac{7}{5} = \dfrac{15}{HB}$

$\Rightarrow HB = \dfrac{75}{7}$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \tan\widehat{ACB} = \dfrac{5}{7}$

$\Rightarrow \tan \widehat{ACH} = \dfrac{5}{7}$

Mà trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{ACH} =\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{HC}$

$\Rightarrow HC = 21(cm)$