Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO\perp BC$

Vì $BD$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BED}=90^o$

$\to BE\perp AD$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AEB}=90^o$

$\to ABHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

b.Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB$

Mà $BC\perp AO\to BH\perp AO$

$\to OH.OA=OB^2$

$\to OH.OA=OD^2$

$\to \dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OA}$

$\to \Delta OHD\sim\Delta ODA(c.g.c)$

$\to \widehat{ODH}=\widehat{OAD}=\widehat{HAE}$

Vì $ABHE$ nội tiếp

$\to \widehat{HAE}=\widehat{HBE}$

$\to \widehat{HDO}=\widehat{HBE}$

c.Ta có:

$BD=2R$

$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=R\sqrt3$

$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{(R\sqrt3)^2+(2R)^2}=R\sqrt7$

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $B, BE\perp AD$

$\to DE.DA=DB^2$

$\to DE=\dfrac{DB^2}{DA}=\dfrac{(2R)^2}{R\sqrt7}=\dfrac{4R}{\sqrt7}$

Vì $\Delta OHD\sim\Delta ODA$(câu b)

$\to \dfrac{HD}{AD}=\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac12$

$\to HD=\dfrac12AD$

$\to HD=\dfrac{R\sqrt7}2$

Vì $\Delta ABO$ vuông tại $B, BH\perp AO$

$\to BH.AO=BA.BO$

$\to BH=\dfrac{BA.BO}{AO}=\dfrac{R\sqrt3}2$

$\to AH=\sqrt{AB^2-BH^2}= \dfrac32R$

Vì $AEHD$ nội tiếp

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ABE}=\widehat{EDB}=\widehat{ADO}$

$\to \Delta AEH\sim\Delta AOD(g.g)$

$\to \dfrac{HE}{OD}=\dfrac{AH}{AD}$

$\to \dfrac{HE}{R}=\dfrac{\dfrac32R}{R\sqrt7}$

$\to HE=\dfrac{3R}{2\sqrt7}$

Ta có:

$HE=\dfrac{3R}{2\sqrt7}, HD=\dfrac{R\sqrt7}2, ED=\dfrac{4R}{\sqrt7}$

$\to P_{DHE}=HE+HD+ED= \dfrac{9R}{\sqrt{7}}$

     $S_{DHE}=\sqrt{\dfrac{HE+HD+DE}2\cdot \dfrac{-HE+HD+DE}2\cdot \dfrac{HE-HD+DE}2\cdot \dfrac{HE+HD-DE}2}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{14}$