Giải thích các bước giải:

1.Vì $BC$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$

$\to BN\perp AC, CM\perp AB$

Mà $BN\cap CM=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

$\to AE\perp BC$

2.Ta có: $\Delta AMH,\Delta ANH$ vuông tại $M, N$

               $I$ là trung điểm $AH$

$\to IM=IA=IH=\dfrac12AH=IN$

$\to \widehat{IMH}=\widehat{IHM}=\widehat{HEC}=90^o-\widehat{HCE}=90^o-\widehat{MCB}=\widehat{MBC}=\widehat{OBM}=\widehat{OMB}$

$\to \widehat{IMO}=\widehat{IMH}+\widehat{OMC}=\widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{BMC}=90^o$

$\to MI\perp OM$

$\to IM$ là tiếp tuyến của $(O)$

3.Gọi $IO\cap MN=D$

Ta có: $IM=IN, OM=ON$

$\to IO$ là trung trực $MN$

$\to IO\perp MN=D$ là trung điểm $MN$

Vì $\Delta IMO$ vuông tại $M, MD\perp IO$

$\to DM.OI=MI.MO$

$\to 2DM.OI=2MI.MO$

$\to MN.OI=2MI.MO$

4.Xét $\Delta NAH,\Delta NBC$ có:

$\widehat{ANH}=\widehat{BNC}(=90^o)$

$AH=BC$

$\widehat{NHA}=\hat C$

$\to \Delta NAH=\Delta NBC$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AN=NB$

$\to \tan\widehat{BAC}=\dfrac{NB}{NA}=1$