`a)`

Ta có:
`MD ⊥ AB`
`ME ⊥ AC`
Lại có tam giác `ABC` vuông tại `A` nên `AB ⊥ AC`
→ `MD // AC và ME // AB`

Xét tứ giác `ADME:`
Có `AD ⊥ AB, AE ⊥ AC`
Hai cạnh `AD` và `ME` cùng vuông góc với hai cạnh `AB` và `AC`
Mà `AB ⊥ AC` nên `AD // ME` và `AD ⊥ AM`
Tương tự `ME ⊥ AM`

`→` Tứ giác `ADME` có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, và có góc vuông ⇒ là hình chữ nhật

`b) `

Ta có:
`MD ⊥ AB` tại `D`
`ME ⊥ AC` tại `E`
M là trung điểm của `BC`

Vì tam giác `ABC` vuông tại `A` nên M là trung điểm cạnh huyền `BC`
`→` Tam giác `ABC` vuông tại `A` có trung tuyến `AM`
`→` Theo tính chất, `AM = MB = MC`

Xét hai tam giác vuông `AMD` và `CME`
Ta có:
`MD ⊥ AB, ME ⊥ AC`
`AB ⊥ AC ⇒ MD // ME`
`MD = ME` (vì cùng là đường cao từ trung tuyến AM vuông góc AB và AC)
`→` `DM = EC`

O là trung điểm của `ME`
Mà `DM = EC ⇒ DO =  OC`
`→ D, O, C` thẳng hàng

`c) `

Để `ADME` là hình vuông thì ngoài việc là hình chữ nhật, cần thêm một điều kiện nữa là các cạnh bằng nhau
Tức là `AD = ME`

Vì `MD ⊥ AB` và `ME ⊥ AC`
Muốn `AD = AE` thì cần `AB = AC`
⇒ Tam giác `ABC` vuông tại `A` và cân tại `A`

`→` Tam giác `ABC` cần thêm điều kiện `AB = AC` để tứ giác `ADME` là hình vuông