Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Xét ΔHDC vuông tại H ta có:

      I là trung điểm DH (gt)

      M là trung điểm HC (gt)

Suy ra: IM là đường trung bình của ΔHDC

Do đó: IM // DC

Lại có:  DC ⊥ AD (gt)

Nên:     IM ⊥ AD

b) Xét ΔADM, Ta có 

    DH là đường cao (DH ⊥ AC)

     IM là đường cao  (IM ⊥ AD)

Do đó I là trực tâm của ΔADM

Suy ra AI là đường cao

hay AI ⊥ DM

c) Gọi giao điểm của AD và KH là O

Xét ΔABC cân tại A, ta có:

      AD là đường cao (gt)

Do đó AD là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác góc KAH

Suy ra:  góc KAD = góc HAD

Xét ΔAKD và ΔAHD, ta có:

       AD là cạnh chung

       góc AKD = góc AHD = 90 độ ( gt)

        góc KAD = góc HAD (cmt)

Do đó: ΔAKD = ΔAHD ( g-c-g )

Suy ra: AK = AH ( 2 cạnh tương ứng )

Xét ΔAKH, ta có:

       AK = AH (cmt)

Do đó  ΔAKH cân tại A

Xét  ΔAKH cân tại A, ta có:

     AO là phân giác góc KAH (AD phân giác góc KAH)

Do đó AO là đường phân giác đồng thời cũng là đường trung trực

Hay AO ⊥ KH

Hay AD ⊥ KH

Lại có: AD ⊥ BC (AD là đường cao) 

=> KH // BC

Xét tứ giác BKHC, ta có:

     KH // BC (cmt)

Do đó tứ giác BKHC là hình thang

Mà góc B = góc C (Vì ΔABC cân tại A)

Do đó tứ giác BKHC là hình thang cân

d) Xét ΔABC cân tại A, ta có:

     AD là đường cao( gt)

Do đó AD là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến

hay  BD = BC

Xét Δ ADB vuông tại D, ta có:

         $^{S}$ADB = $\frac{KD.AB}{2}$

và     $^{S}$ADB = $\frac{AD.BD}{2}$ 

=> $\frac{KD.AB}{2}$ = $\frac{AD.BD}{2}$

hay KD.AB = AD.BD

Mà BD = BC (cmt)

Do đó: KD.AB = AD.BC (đpcm)