Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Xét $ΔABH$ và $ΔCAK$ có:

+ $\widehat{AHB} = \widehat{CKA} = 90^o$

+ $AB = AC$

+ $\widehat{ABH} = \widehat{CAK}$ (cùng phụ với $\widehat{BAK}$)

⇒ $ΔABH = ΔCAK$ (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ $BH = AK$ (đpcm)

b) Do $AM$ là đường trung tuyến của tam giác vuông $ABC$

⇒ $AM = BM = CM = \frac{1}{2}BC$

Xét $ΔBHM$ và $ΔAKM$ có:

+ $AM = BM$

+ $\widehat{HBM} = \widehat{KAM}$  (= góc ABC - góc ABH)

+ $BM = AM$

⇒ $ΔBHM = ΔAKM$ (c-g-c) (đpcm)

c) Do $ΔBHM$ = $ΔAKM$ (cmt)

⇒ $HM = KM$

⇒ $ΔMHK$ cân tại $M$

và $\widehat{BMH} = \widehat{AMK}$

⇒ $\widehat{BMH} - \widehat{AMH} = \widehat{AMK} - \widehat{AMH}$

⇒ $\widehat{AMB} = \widehat{KMH}$

Mà $\widehat{AMB} = 90^o$ ($ΔABC$ vuông cân tại $A$)

⇒ $\widehat{KMH} =90^o$

⇒ $ΔMHK$ vuông cân tại $M$ (đpcm)