Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \textbf{E} &= (x + 1)(x^2 - 4)(x + 5) + 2023
\\ &= (x + 1)(x + 2)(x - 2)(x + 5) + 2023
\\ &= (x^2 + x + 2x + 2)(x^2 - 2x + 5x - 10) + 2023
\\ &= (x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x - 10) + 2023
\\ &= (x^2 + 3x - 4 + 6)(x^2 + 3x - 4 - 6) + 2023
\\ &= (x^2 + 3x - 4)^2 - 36 + 2023
\\ &= (x^2 + 3x - 4)^2 + 1987 \end{array}$

Ta có: $(x^2 + 3x - 4)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Do đó $\textbf{E} = (x^2 + 3x - 4)^2 + 1987 \ge 1987$ với mọi $x$

Dấu $=$ xảy ra khi $x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x - 1)(x + 4) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $x + 4 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = -4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{E} = (x + 1)(x^2 - 4)(x + 5) + 2023$ là $1987$ tại $x = 1$ và $x = -4$