Đáp án:

a) (x;y) = ( 2;5)  

b) (x;y) = (0;1)

Giải thích các bước giải:

 a) 3x² + 2y² - 4xy + 8x -12y +22 = 0

<=> 3x² + (8x - 4xy) + (2y² -12y + 22) = 0

<=> 3x² + ( 8-4y)x + (2y² -12y + 22 ) = 0

Dễ dàng ta thấy phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 ( với a =3 ; b = 8-4y ; c = 2y² -12y +22)

Δ = b² - 4ac

    = (8-4y)² - 4.3.(2y² -12y + 22)

     = 64 -64y + 16y² - 24y² + 144y - 264

      = -8y² + 80y - 200

để x, y nguyên Δ phải là 1 số chính phương

đặt Δ = k² ta có :

k² = -8y² +80y - 200

mà k² ≥ 0

=> -8y² +80y -200 ≥ 0

<=> y² - 10y + 25 ≤ 0 ( chia 2 vế cho -8)

Vì bình phương 1 số luôn k âm nên 

y² - 10y +25 = 0

=> y = 5

thế y vào phương trình ta có

3x² + 2.5² - 4x.5 + 8x - 12.5 + 22 = 0

<=> 3x² -12x +12 = 0

=> x = 2

vậy phương trình có nghiệm (x;y) là (2;5) 

b) x² + y² - xy + x - 2y + 1 = 0 

<=> x² + x - xy + y² -2y + 1 = 0

<=> x² + ( 1-y)x + y² -2y + 1 = 0 

dễ dàng ta thấy phương trình có dạng ax² + bx + x = 0 ( với a = 1 ; b = 1-y ; c = y² -2y + 1)

Δ = b² - 4ac

    = (1-y)² - 4(y² -2y + 1)

    = 1 - 2y + y² - 4y² + 8y - 4

    = -3y² + 6y - 3

để x,y nguyên Δ phải là 1 số chính phương

đặt Δ = k² ta có

k² = -3y +6y - 3

mà k² ≥ 0

<=> -3y + 6y - 3 ≥ 0

<=> y² - 2y + 1  ≤ 0 ( chia 2 vế cho -3)

vì bình phương của 1 số luôn không âm nên

y² -2y + 1 = 0

=> y = 1 

thế y = 1 vào phương trình ta có

x² + 1² - x.1 + x - 2.1 + 1 = 0

<=> x² = 0

 => x = 0

vậy phương trình có nghiệm (x;y) là ( 0;1)