Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{m}{1}$

$m^2 \ne 1$

$m \ne \pm 1$

$\begin {cases} x + my = m + 1 \\ mx + y = 3m - 1\end {cases}$

$\begin {cases} x - 1 = m - my \\ mx + y = 3m - 1 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m - my + 1 \\ m(m - my + 1) + y = 3m - 1 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m - my + 1 \\ m^2 - m^2y + m + y = 3m - 1 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m(1 - y) + 1 \\ y - m^2y = 3m - 1 - m^2 - m \end {cases}$

$\begin {cases} x = m(1 - y) + 1 \\ y(1 - m^2) = -m^2 + 2m - 1 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m(1 - y) + 1 \\ y(1 + m)(1 - m) = -(1 - m)^2 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m(1 - y) + 1 \\ y(1 + m) = m - 1 \end {cases}$

$\begin {cases} x = m\bigg(1 - \dfrac{m - 1}{m + 1}\bigg) + 1 \\ y = \dfrac{m - 1}{m+ 1} \end {cases}$

$\begin {cases} x = \dfrac{2m}{m + 1} + 1 \\ y = \dfrac{m - 1}{m+ 1} \end {cases}$

$\begin {cases} x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} \\ y = \dfrac{m - 1}{m+ 1} \end {cases}$

Để $x, y$ đều là số nguyên thì $3m + 1$ và $m - 1$ cùng chia hết cho $m + 1$

Mà $\dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1}$ và $\dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1}$

Vậy $m + 1 \in Ư(2)$, hay $m + 1 \in \{-2; -1; 1; 2\}$

$m \in \{-3; -2; 0; 1\}$

Mà $m \ne \pm 1$ nên $m \in \{-3; -2; 0\}$

Vậy $m \in \{-3; -2; 0\}$

$\textbf{b}\bigg)$

Ta có: $x - y = 3 - \dfrac{2}{m + 1} - 1 + \dfrac{2}{m + 1} = 2$

Suy ra $y = x - 2$

Do đó $M(x; y)$ luôn chạy trên đường thẳng $y = x - 2$

Vậy $M(x; y)$ luôn chạy trên đường thẳng $y = x - 2$

$\textbf{c}\bigg)$

$xy = \bigg(3 - \dfrac{2}{m + 1}\bigg)\bigg(1 - \dfrac{2}{m + 1}\bigg)$

$= 3 - \dfrac{8}{m + 1} + \dfrac{4}{(m + 1)^2}$

Đặt $t = \dfrac{1}{m + 1} (t \ne 0)$, ta được:

$xy = 4t^2 - 8t + 3$

$= 4t^2 - 8t + 4 - 1$

$= (2t - 2)^2 - 1 \ge -1$ với mọi $t \ne 0$

Dấu $=$ xảy ra khi $2t - 2 = 0$, hay $t = 1$

$\dfrac{1}{m + 1} = 1$

$m + 1 = 1$

$m = 0$

Vậy với $m = 0$ thì $xy$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-1$