Gọi
$A = a^2 - 5a + b^2 + ab - 4b + 2016$
$4A = 4a^2 - 20a + 4b^2 + 4ab - 16b + 8064$
$4A = (4a^2 + 4ab + b^2) - 20a - 16b + 3b^2 + 8064$
$4A = (2a + b)^2 - 10(2a + b) + 25 + 3b^2 - 6b + 3 + 8036$
$4A = (2a + b - 5)^2 + 3(b^2 - 2b + 1) + 8036$
$4A = (2a + b - 5)^2 + 3(b - 1)^2 + 8036$
Vì $(2a + b - 5)^2 \ge 0$ với mọi $a, b$.
Và $3(b - 1)^2 \ge 0$ với mọi $b$.
Nên $4A \ge 8036$.
$A \ge \dfrac{8036}{4} = 2009$.
Dấu "=" xảy ra khi $2a + b - 5 = 0$ và $b - 1 = 0$.
$b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = 1$.
$2a + 1 - 5 = 0 \Leftrightarrow 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy, gtnn của biểu thức là $2009$ khi $a = 2$ và $b = 1$.