1
Trong $\triangle ABC$ vuông tại A, theo định lý Pytago:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$ (cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AB \cdot AC = AH \cdot BC$
$12 \cdot 16 = AH \cdot 20$
$192 = 20 \cdot AH$
$AH = \dfrac{192}{20} = \dfrac{48}{5} = 9.6$ (cm)
`-`
$AB^2 = BH \cdot BC$
$12^2 = BH \cdot 20$
$144 = 20 \cdot BH$
$BH = \dfrac{144}{20} = \dfrac{36}{5} = 7.2$ (cm)
`-`
$AC^2 = CH \cdot BC$
$16^2 = CH \cdot 20$
$256 = 20 \cdot CH$
$CH = \dfrac{256}{20} = \dfrac{64}{5} = 12.8$ (cm)
2
Đặt $HB = x$ (cm), $HC = y$ (cm).
Ta có hpt
$\begin{cases} y - x = 9 \\ AH^2 = HB \cdot HC \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} y = x+9 \\ 6^2 = x \cdot y \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} y = x+9 \\ 36 = x(x+9) \end{cases}$

CÓ PT: $x^2+9x-36=0$
$\Delta = 9^2 - 4.1.(-36) = 81 + 144 = 225$
$x = \dfrac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} = \dfrac{-9 \pm 15}{2}$
Vì $HB > 0$ => $x = \dfrac{-9+15}{2} = 3$.
$HB = 3$ (cm).
$HC = HB+9 = 3+9 = 12$ (cm)