Hàm số $y = \frac{mx - 2m + 3}{x + m}$. TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$.
$y' = \frac{m(x+m) - (mx - 2m + 3)}{(x+m)^2} = \frac{m^2 + 2m - 3}{(x+m)^2}$.
Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$ khi:
$\begin{cases} y' < 0 \\ -m \notin (2; +\infty) \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} m^2 + 2m - 3 < 0 \\ -m \le 2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} (m+3)(m-1) < 0 \\ m \ge -2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} -3 < m < 1 \\ m \ge -2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow -2 \le m < 1$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$, nên $m \in \{-2, -1, 0\}$.
Số phần tử của S là 3