$S = \sqrt{a + 3 - 4\sqrt{a-1}} + \sqrt{a + 15 - 8\sqrt{a-1}}$.
->
Đ/kiện: $a-1 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$.
Có:
$\sqrt{a + 3 - 4\sqrt{a-1}} = \sqrt{(a-1) - 4\sqrt{a-1} + 4} = \sqrt{(\sqrt{a-1}-2)^2} = |\sqrt{a-1}-2|$.
$\sqrt{a + 15 - 8\sqrt{a-1}} = \sqrt{(a-1) - 8\sqrt{a-1} + 16} = \sqrt{(\sqrt{a-1}-4)^2} = |\sqrt{a-1}-4|$.
`-`
Biểu thức $S$ trở thành:
$S = |\sqrt{a-1}-2| + |\sqrt{a-1}-4|$.
Đặt $x = \sqrt{a-1}$ ($x \ge 0$).
$S = |x-2| + |x-4|$.
`-`
Áp dụng BĐT $|A|+|B| \ge |A-B|$:
$S = |x-2| + |x-4| \ge |(x-2) - (x-4)| = |x-2-x+4| = |2| = 2$.

Dấu "bằng" xảy ra khi $(x-2)$ và $(x-4)$ trái dấu hoặc một trong hai bằng $0$.
=>
$(x-2)(x-4) \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 4$.
Thay $x = \sqrt{a-1}$ vào:
$2 \le \sqrt{a-1} \le 4$.
=>
$4 \le a-1 \le 16$.
$5 \le a \le 17$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $2$ khi $5 \le a \le 17$