$C = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}$
`-`
Đk: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Mẫu thức có $\frac{1}{x^2}$ nên $x \ne 0$.
Mẫu thức dưới dấu căn $\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} = \sqrt{(\frac{x-1}{x})^2} = |\frac{x-1}{x}|$.
Để mẫu thức khác $0$ thì $x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Vậy đkxđ $x > 1$.
`-`
Ta có:
Tử thức:
$\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = |\sqrt{x-1}-1|$
$\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} = |\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$ (vì $\sqrt{x-1} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-1}+1 > 0$)
`-`
Mẫu thức:
$\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{(\frac{1}{x}-1)^2} = |\frac{1}{x}-1|$
Vì $x > 1 \Rightarrow 0 < \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow \frac{1}{x}-1 < 0$.
Nên $|\frac{1}{x}-1| = -(\frac{1}{x}-1) = 1-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
`-`
Xét 2 trường hợp của tử thức:
1) $x \ge 2$.
Khi đó $\sqrt{x-1} \ge \sqrt{2-1} = 1$.
$\Rightarrow \sqrt{x-1}-1 \ge 0$.
Tử thức

$= (\sqrt{x-1}-1) + (\sqrt{x-1}+1) = 2\sqrt{x-1}$.
$C = \frac{2\sqrt{x-1}}{\frac{x-1}{x}} = 2\sqrt{x-1} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{2x}{\sqrt{x-1}}$.

2) $1 < x < 2$.
Khi đó $\sqrt{x-1} < \sqrt{2-1} = 1$.
$\Rightarrow \sqrt{x-1}-1 < 0$.
Tử thức

$= -(\sqrt{x-1}-1) + (\sqrt{x-1}+1) = -\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}+1 = 2$.
$C = \frac{2}{\frac{x-1}{x}} = \frac{2x}{x-1}$.
=>
$C = \begin{cases} \frac{2x}{\sqrt{x-1}} & \text{khi } x \ge 2 \\ \frac{2x}{x-1} & \text{khi } 1 < x < 2 \end{cases}$