Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa là $x^2+\sqrt[3]{x^4y^2} \ge 0$ và $y^2+\sqrt[3]{y^4x^2} \ge 0$.
Ta có:
$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}} = \sqrt{x^2+x\sqrt[3]{xy^2}} = \sqrt{x^2(1+\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}})} = \sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{x}\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}}}$
Giả sử $x, y \ne 0$.
=>
$\sqrt{x^2(1+\frac{\sqrt[3]{x^4y^2}}{x^2})} + \sqrt{y^2(1+\frac{\sqrt[3]{y^4x^2}}{y^2})} = 8$
$\sqrt{x^2(1+\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}})} + \sqrt{y^2(1+\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}})} = 8$
$|x|\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}}} + |y|\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}}} = 8$
`-`
Xét trường hợp $x, y > 0$.
$x\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{y^2}{x^2}}} + y\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}}} = 8$
Đặt $a = \sqrt[3]{x^2}$ và $b = \sqrt[3]{y^2}$ ($a, b > 0$).
Khi đó $x = \sqrt{a^3}$, $y = \sqrt{b^3}$.
$\sqrt{a^3}\sqrt{1+\frac{b}{a}} + \sqrt{b^3}\sqrt{1+\frac{a}{b}} = 8$
$\sqrt{a^3}\sqrt{\frac{a+b}{a}} + \sqrt{b^3}\sqrt{\frac{b+a}{b}} = 8$
$\sqrt{a^2(a+b)} + \sqrt{b^2(a+b)} = 8$
$a\sqrt{a+b} + b\sqrt{a+b} = 8$
$(a+b)\sqrt{a+b} = 8$
$(\sqrt{a+b})^3 = 2^3$
$\sqrt{a+b} = 2$
$a+b = 4$
`-`
$T = (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^2 + 2025$.
$T = (a+b)^2 + 2025$
$T = 4^2 + 2025$
$T = 16 + 2025$
$T = 2041$