a
Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm.
$AD$ là phân giác $\angle A \Rightarrow \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
Mà $BD + CD = BC = 15$.
$\Rightarrow BD = \frac{3}{3+4} \times 15 = \frac{3}{7} \times 15 = \frac{45}{7}$ cm.
$CD = 15 - \frac{45}{7} = \frac{60}{7}$ cm.
Vì $DE \perp AC$ và $AB \perp AC \Rightarrow DE \text{ song song với } AB$.
Xét $\Delta CDE \sim \Delta CBA$ (g.g, do $\angle C$ chung, $\angle CED = \angle CAB = 90^\circ$).
$\Rightarrow \frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CB} \Rightarrow DE = AB \times \frac{CD}{CB} = 9 \times \frac{\frac{60}{7}}{15} = 9 \times \frac{60}{7 \times 15} = 9 \times \frac{4}{7} = \frac{36}{7}$ cm.
b)
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ cm$^2$.
Vì $AD$ là phân giác $\angle A$, ta có $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD} = \frac{3}{4}$.
Mà $S_{ABD} + S_{ACD} = S_{ABC} = 54$.
$\Rightarrow S_{ABD} = \frac{3}{3+4} \times 54 = \frac{3}{7} \times 54 = \frac{162}{7}$ cm$^2$.
$S_{ACD} = 54 - \frac{162}{7} = \frac{378 - 162}{7} = \frac{216}{7}$ cm$^2$.