a) Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC$
$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH \cdot BC$
$\Leftrightarrow AB \cdot AC = AH \cdot BC$.

b) Xét tứ giác $AMHN$.
$\angle AMH = \angle ANH = \angle MAN = 90^\circ$
$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow MN = AH$.
Ta có $AH^2 = AM \cdot AB$ và $AH^2 = AN \cdot AC$.
$\Rightarrow AM \cdot AB = AN \cdot AC$
$\Leftrightarrow \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$.
Xét $\triangle AMN$ và $\triangle ACB$:
$\angle MAN = \angle CAB = 90^\circ$
$\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle AMN \sim \triangle ACB$ (c.g.c).

c) Áp dụng ĐL Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$BC^2 = AB^2+AC^2 = 6^2+8^2 = 36+64=100$
$BC = 10$ cm.
$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$ cm.
Vì $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ với tỉ số $k = \frac{AH}{BC} = \frac{4.8}{10} = 0.48$.
$\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}} = k^2 = (0.48)^2 = 0.2304$.
$S_{ACB} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ cm$^2$.
$S_{AMN} = 0.2304 \cdot 24 = 5.5296$ cm$^2$.
$S_{BMNC} = S_{ABC} - S_{AMN} = 24 - 5.5296 = 18.4704$ cm$^2$.