$a=\underbrace{111...11}_{\text{2n chữ số 1}}$

`=>` $9a=\underbrace{999...99}_{\text{2n chữ số 9}}$

`=>` `9a=10^(2n)-1`

`=>` `a=(10^(2n)-1)/9`

$b=\underbrace{111...11}_{\text{n+1 chữ số 1}}$

`=>` $9b=\underbrace{999...99}_{\text{n+1 chữ số 9}}$

`=>` `9b=10^(n+1)-1`

`=>` `b=(10^(n+1)-1)/9`

$c=\underbrace{666...66}_{\text{n chữ số 6}}$

`=>` $\dfrac{3}{2}c=\underbrace{999...99}_{\text{n chữ số 9}}$

`=>` `3/2c=10^n-1`

`=>` `c=(2*10^n-2)/3`

Ta có: `a+b+c+8=(10^(2n)-1)/9+(10^(n+1)-1)/9+(2*10^n-2)/3+8`

`=(10^(2n)-1+10^(n+1)-1+6*10^n-6+72)/9`

`=(10^(2n)+10^(n+1)+6*10^n+64)/9`

`=(10^(2n)+10*10^n+6*10^n+64)/9`

`=(10^(2n)+16*10^n+64)/9`

`=((10^n)^2+2*10^n*8+8^2)/9`

`=((10^n+8)^2)/9`

`=((10^n+8)/3)^2`

Tổng chữ số của `10^n+8` là:

$1+\underbrace{0+0+0+...+0+0}_{\text{n hạng tử}}+8=9$

`=>` `10^n+8` chia hết cho `3`

`=>` `(10^n+8)/3` là số tự nhiên

`=>` `a+b+c+8` là số chính phương (đpcm)