Kẻ $BH \perp CD$ tại $H$.
Khi đó $ABHD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $DH = AB = 6$ cm.
Vì $BH \perp CD$ nên $\angle BHC = 90^\circ$.
$HC = CD - DH = 10 - 6 = 4$ cm.
Xét $\triangle BHC$ vuông tại $H$:
$\tan C = \frac{BH}{HC}$
$\tan 60^\circ = \frac{BH}{4}$
$BH = 4 \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$ cm.
$\sin C = \frac{BH}{BC}$
$\sin 60^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{BC}$
$BC = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$ cm.
Chu vi hình thang $ABCD$ là $AB + BC + CD + DA$.
$P = 6 + 8 + 10 + 4\sqrt{3} = 24 + 4\sqrt{3}$ cm.
Diện tích hình thang $ABCD$ là $\frac{(AB + CD) \cdot BH}{2}$.
$S = \frac{(6 + 10) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ cm$^2$.