$n$ chia $6$ dư $4$, suy ra $n = 6k + 4$ (với $k$ là số tự nhiên).
$n$ chia $10$ dư $2$, suy ra $n = 10m + 2$ (với $m$ là số tự nhiên).
$n$ chia $22$ dư $14$, suy ra $n = 22p + 14$ (với $p$ là số tự nhiên).
Từ 
+$n = 6k + 4$, suy ra $n+2 = 6k+6 = 6(k+1)$, vậy $n+2$ chia hết cho $6$.
+$n = 10m + 2$, suy ra $n+8 = 10m+10 = 10(m+1)$, vậy $n+8$ chia hết cho $10$.
+$n = 22p + 14$, suy ra $n+8 = 22p+22 = 22(p+1)$, vậy $n+8$ chia hết cho $22$.
Vì $n+8$ chia hết cho $10$ và $n+8$ chia hết cho $22$, suy ra $n+8$ là bội chung của $10$ và $22$.
`-`
$10 = 2 \times 5$
$22 = 2 \times 11$
BCNN$(10, 22) = 2 \times 5 \times 11 = 110$.
=>$n+8$ là bội của $110$.
Các bội của $110$ là $110, 220, 330, 440, ...$
Ta có $n+8$ có thể là $110, 220, 330, ...$
=>$n$ có thể là $102, 212, 322, ...$
`-`
Nếu $n=102$, thì $n+2 = 104$. $104$ ko chia hết cho $6$
Nếu $n=212$, thì $n+2 = 214$. $214$ ko chia hết cho $6$
Nếu $n=322$, thì $n+2 = 324$. $324$ chia hết cho $6$
Vậy số $n$ nhỏ nhất thỏa mãn các đk là $322$