$\textit{a) $MA + MB + MC + MD > AB + CD$}$
`-`
Xét $\triangle MAB$: $MA + MB > AB$ (Bất đẳng thức tam giác)
Xét $\triangle MCD$: $MC + MD > CD$ (Bất đẳng thức tam giác)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên:
$(MA + MB) + (MC + MD) > AB + CD$
$MA + MB + MC + MD > AB + CD$ (đpcm)

$\textit{b) $MA + MB + MC + MD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$}$
`-`
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác:
$\triangle MAB: MA + MB > AB$ (1)
$\triangle MBC: MB + MC > BC$ (2)
$\triangle MCD: MC + MD > CD$ (3)
$\triangle MDA: MD + MA > DA$ (4)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4):
$(MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MD) + (MD + MA) > AB + BC + CD + DA$
$2MA + 2MB + 2MC + 2MD > AB + BC + CD + DA$
$2(MA + MB + MC + MD) > AB + BC + CD + DA$
$MA + MB + MC + MD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$ (đpcm)