Gọi `E` là trung điểm `SA`

Khi đó: `OE //// SC => SC //// (BED)`

`=>` `d(SC,BD)=d(SC,(BED))=d(S,(BED))=d(A,(BED))`

Kẻ `AF bot BD` tại `F`

Ta có: `{(BD bot AF),(BD bot AE):} => BD bot (AEF)`

Kẻ `AH bot EF` tại `H`

Ta có: `{(BD bot (AEF)=>BD bot AH),(EF bot AH):}=>AH bot (BED)`

`=>` `AH=d(A,(BED))=5`

Do `DeltaEAF` vuông tại `A` nên ta có: `AH=(AE*AF)/(sqrt(AE^2+AF^2))`

`=>` `(AE^2*AF^2)/(AE^2+AF^2)=AH^2=25`

`=>` `AE^2*AF^2=25AE^2+25AF^2`

`=>` `AF^2*(AE^2-25)=25AE^2`

`=>` `AF^2=(25AE^2)/(AE^2-25)=(25*((SA)/2)^2)/(((SA)/2)^2-25)=(25SA^2)/(SA^2-100) > 0`

`=>` `SA^2-100 > 0`

`=>` `SA > 10`

Do `DeltaABC` vuông tại `A` nên ta có: `AF=(AB*AD)/(sqrt(AB^2+AD^2))`

`=>` `(AB^2*AD^2)/(AB^2+AD^2)=(25SA^2)/(SA^2-100)`

Theo BĐT Cauchy, ta có: `AB^2+AD^2 >= 2*AB*AD`

`=>` `(AB^2*AD^2)/(AB^2+AD^2) <= (AB^2*AD^2)/(2*AB*AD)=(AB*AD)/2`

`=>` `(25SA^2)/(SA^2-100) <= (AB*AD)/2`

`=>` `AB*AD >= (50SA^2)/(SA^2-100)`

Ta có:

`V_(S.ABCD)=1/3*SA*S_(ABCD)=1/3*SA*AB*AD >= 50/3*(SA^3)/(SA^2-100)`

Xét `f(x)=(x^3)/(x^2-100)` với `x in (10;+oo)`

`=>` `f^'(x)=((x^3)^'*(x^2-100)-x^3*(x^2-100)^')/((x^2-100)^2)`

`=(3x^2*(x^2-100)-x^3*2x)/((x^2-100)^2)`

`=(3x^4-300x^2-2x^4)/((x^2-100)^2)`

`=(x^4-300x^2)/((x^2-100)^2)`

`=>` `f^'(x)=0=>[(x=0  (l)),(x=-sqrt300  (l)),(x=sqrt300=10sqrt3  (tm)):}`

Ta có bảng biến thiên:

$\begin{array}{c|cc} x&10&&10\sqrt{3}&&+\infty \\\hline f'(x)&&-&0&+& \\\hline &+\infty&&&&+\infty \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow \\ &&&15\sqrt{3} \end{array}$

`=>` `V_(S.ABCD) >= 50/3*15sqrt3=250sqrt3`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `{(SA=10sqrt3),(AB=AD=5sqrt3):}`

Vậy GTNN của thế tích khối chóp đã cho là `250sqrt3 ~~`$\fbox{433}$