1) 
Xét $\triangle MNK$ và $\triangle QNM$:
$\angle NKM = \angle NMQ = 90^\circ$.
$\angle N$ là góc chung.
Vậy $\triangle MNK \sim \triangle QNM$ (g.g).
$\implies \frac{MN}{QN} = \frac{NK}{NM}$
$\implies MN^2 = QN \cdot NK$.
`-`
Xét $\triangle QKM$ và $\triangle QNM$:
$\angle QKM = \angle QMN = 90^\circ$.
$\angle Q$ là góc chung.
Vậy $\triangle QKM \sim \triangle QNM$ (g.g).
$\implies \frac{QM}{QN} = \frac{QK}{QM}$
$\implies MQ^2 = QN \cdot QK$.

`2)`
Xét $\triangle MNK$ vuông tại $K$ và $\triangle QKM$ vuông tại $K$.
Ta có $\angle KMN + \angle QMN = 90^\circ$ và $\angle KQM + \angle QMN = 90^\circ$.
$\implies \angle KMN = \angle KQM$.
Xét $\triangle MNK$ và $\triangle QMK$:
$\angle NKM = \angle QKM = 90^\circ$.
$\angle KMN = \angle MQK$ (chứng minh trên).
Vậy $\triangle MNK \sim \triangle QMK$ (g.g).
$\implies \frac{MK}{QK} = \frac{NK}{MK}$
$\implies MK^2 = QK \cdot NK$.

3) 
Diện tích $\triangle MNQ = \frac{1}{2} MN \cdot MQ$.
Diện tích $\triangle MNQ = \frac{1}{2} QN \cdot MK$.
`=>`
$\frac{1}{2} MN \cdot MQ = \frac{1}{2} QN \cdot MK$.
$MN \cdot MQ = QN \cdot MK$.