Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi $n$ là số máy được sử dụng để sx ($1 \le n \le 30$, $n \in \mathbb{N}^*$).
Tổng số bóng cần sản xuất là $8000$ quả.
Mỗi máy sản xuất được $30$ quả bóng/giờ.
Tổng số bóng sản xuất được mỗi giờ là $30n$ quả.
Thời gian để hoàn thành đơn hàng là $T = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n}$ (giờ).
`-`
Chi phí thiết lập máy là $C_{lap} = 200n$ (nghìn đồng).
Chi phí giám sát là $C_{gs} = 192T = 192 \cdot \frac{800}{3n} = \frac{64 \cdot 800}{n} = \frac{51200}{n}$ (nghìn đồng).
`->`
Tổng chi phí là $C(n) = C_{lap} + C_{gs} = 200n + \frac{51200}{n}$ (nghìn đồng).
`->`
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $200n$ và $\frac{51200}{n}$:
$C(n) = 200n + \frac{51200}{n} \ge 2\sqrt{200n \cdot \frac{51200}{n}}$
$C(n) \ge 2\sqrt{200 \cdot 51200}$
$C(n) \ge 2\sqrt{10240000}$
$C(n) \ge 2 \cdot 3200$
$C(n) \ge 6400$
`-`
Dấu "$=$" xảy ra khi $200n = \frac{51200}{n}$
$200n^2 = 51200$
$n^2 = \frac{51200}{200}$
$n^2 = 256$
$n = \sqrt{256}$
$n = 16$
Vì $n=16$ thỏa mãn điều kiện $1 \le n \le 30$ và $n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy công ty nên sử dụng $16$ máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.