Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{A} = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + xz} + \dfrac{z}{1 + xy}$

$= \dfrac{x^2}{x + xyz} + \dfrac{y^2}{y + xyz} + \dfrac{z}{z + xyz}$

$\ge \dfrac{(x + y + z)^2}{x + y + z + 3xyz}(\text{bất đẳng thức Cauchy-Schwarz})$

$\Rightarrow \textbf{A} \ge \dfrac{1}{x + y + z + 3xyz}$

Xét $x + y + z + 3xyz$, ta có:

$xyz \le \bigg(\dfrac{x + y + z}{3}\bigg)^3 = \dfrac{1}{27} (\text{bất đẳng thức Cauchy})$

Do đó $x + y + z + 3xyz \le 1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}$

$\Rightarrow \textbf{A} \ge \dfrac{1}{x + y + z + 3xyz} \ge \dfrac{1}{\frac{10}{9}} = \dfrac{9}{10}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$

Vậy $\textbf{A}_{\textbf{max}} = \dfrac{9}{10}$ khi $x = y =  z= \dfrac{1}{3}$