Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{A} = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) + 8$

$= x(x + 6)(x + 2)(x + 4) + 8$

$= (x^2 + 6x)(x^2 + 2x + 4x + 8) + 8$

$= (x^2 + 6x)(x^2 + 6x + 8) + 8$

$= (x^2 + 6x + 4 - 4)(x^2 + 6x + 4 + 4) + 8$

$= (x^2 + 6x + 4)^2 - 16 + 8$

$= (x^2 + 6x + 4)^2 - 8$

Ta có: $(x^2 + 6x + 4)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Do đó $\textbf{A} = (x^2 + 6x + 4)^2 - 8 \ge -8$ với mọi $x$

Dấu $=$ xảy ra khi $x^2 + 6x + 4 = 0$

$(x + 3)^2 = 5$

$x + 3 = \sqrt{5}$ hoặc $x + 3 = -\sqrt{5}$

$x = \sqrt{5} - 3$ hoặc $x = -\sqrt{5} - 3$

Vậy $\textbf{A}_{\textbf{min}} = -8$ khi $x = \sqrt{5} - 3$ hoặc $x = -\sqrt{5} - 3$

$\textbf{B} = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$

$= (x + 1)(x + 4)(x+ 2)(x + 3)$

$= (x^2 + x + 4x + 4)(x^2 + 2x + 3x + 6)$

$= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$

$= (x^2 + 5x + 5 - 1)(x^2 + 5x + 5 + 1)$

$= (x^2 + 5x + 5)^2 - 1$

Ta có: $(x^2 + 5x + 5)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Do đó $\textbf{B} = (x^2 + 5x + 5)^2 - 1 \ge -1$ với mọi $x$

Dấu $=$ xảy ra khi $x^2 + 5x + 5 = 0$

$4x^2 + 20x + 20 = 0$

$(2x + 5)^2 = 5$

$2x + 5 =\sqrt{5}$ hoặc $2x + 5 = -\sqrt{5}$

$x = \dfrac{\sqrt{5} - 5}{2}$ hoặc $x= \dfrac{-\sqrt{5} - 5}{2}$

Vậy $\textbf{B}_{\textbf{min}} = -1$ khi $x = \dfrac{\sqrt{5} - 5}{2}$ hoặc $x= \dfrac{-\sqrt{5} - 5}{2}$

$\textbf{D} = (2x - 1)(x + 2)(x + 3)(2x + 1)$

$= (2x - 1)(x + 3)(x + 2)(2x + 1)$

$= (2x^2 - x + 6x - 3)(2x^2 + 4x + x + 2)$

$= (2x^2 + 5x - 3)(2x^2 + 5x + 2)$

$4\textbf{D} = (4x^2 + 10x - 6)(4x^2 + 10x + 4)$

$= (4x^2 + 10x - 1 - 5)(4x^2 + 10x + 1 + 5)$

$= (4x^2 + 10x - 1)^2 - 25$

Ta có: $(4x^2 + 10x - 1)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Do đó $4\textbf{D} = (4x^2 + 10x - 1)^2 - 25 \ge -25$ với mọi $x$

Suy ra $\textbf{D} \ge -\dfrac{25}{4}$ với mọi $x$

Dấu $=$ xảy ra khi $4x^2 + 10x - 1 = 0$

$16x^2 + 40x - 4 = 0$

$(4x + 5)^2 = 29$

$4x + 5 = \sqrt{29}$ hoặc $4x + 5 = -\sqrt{29}$

$x = \dfrac{\sqrt{29} - 5}{4}$ hoặc $x = \dfrac{-\sqrt{29} - 5}{4}$

Vậy $\textbf{D}_{\textbf{min}} = -\dfrac{25}{4}$ khi $x = \dfrac{\sqrt{29} - 5}{4}$ hoặc $x = \dfrac{-\sqrt{29} - 5}{4}$