`***` Ta có: `(a-b)^2 >= 0`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab >= 0`

`<=> 4ab <= (a+b)^2`

`<=> ab <= ((a+b)^2)/4`

`***` Ta có: `(a+b)^2 >= 0`

`<=> - (a+b)^2 <= 0`

`<=> - a^2 - 2ab - b^2 <= 0`

`<=> (a^2 - 2ab + b^2) - 2a^2 - 2b^2 <= 0`

`<=> (a-b)^2 <= 2 (a^2 + b^2)`

`***` Giả sử `a <= b <= c`, lúc này:

`{(a - b >= 0),(b - c >= 0),(c - a <= 0):}`

`=> {(|a-b| = a-b),(|b-c| = b-c),(|c-a| = a - c):}`

Khi đó, biểu thức `P` trở thành: `P = (a-b+3)(b-c+3)(a-c+3)`

`***` `P = (a-b+3)(b-c+3)(a-c+3)`

`P <= ((a-b+3+b-c+3)^2)/4 . (a-c+3)`

`= ((a-c+6)^2 . (a-c+3))/4`

`***` Lại có:

`(a-c)^2 <= 2 (a^2 + c^2)`

Vì `b^2 >= 0` nên `a^2 + c^2 <= a^2 + b^2 + c^2`

Suy ra: `2 (a^2 + c^2) <= 2 (a^2 + b^2 + c^2) = 2 . 2 = 4`

Khi đó: `(a-c)^2 <= 4`

`a - c <= 2`

Do đó `a - c <= 2` thì `P` đạt giá trị lớn nhất:

`max P = ((2 + 6)^2 . (2 + 3))/4 = (8^2 . 5)/4 = 320/4 = 80`

`***` Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

`{(a - b + 3 = b - c + 3),(a - c = 2):}`

`{(a = 2 + c),(a - 2b + c = 0):}`

`{(a = 2 + c),(2 + c - 2b + c = 0):}`

`{(a = 2+c),(2c - 2b + 2 = 0):}`

`{(a = c + 2),(b = c + 1):}` (*)

Khi đó:

`a^2 + b^2 + c^2`

`= (c+2)^2 + (c+1)^2 + c^2`

`= c^2 + 4a + 4 + c^2 + 2c + 1 + c^2`

`= 3c^2 + 6c + 5`

Giải phương trình sau: `3c^2 + 6c + 5 = 2`

`3c^2 + 6c + 3 = 0`

`3 (c^2 + 2c + 1) = 0`

`(c+1)^2 = 0`

`c + 1 = 0`

`c = -1`

Thay `c = -1` vào hệ phương trình trên, ta có:

`{(a = -1 + 2 = 1),(b = -1 + 1 = 0):}`

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức `P` là `80` khi `a = 1`; `b = 0`; `c = -1` và các hoán vị của các giá trị `a,b,c`.