1. $y = \frac{x^2+x+1}{x+1}$
-Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
$y = x + \frac{1}{x+1} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-2$.
-Giới hạn và tiệm cận:
    $\lim_{x \to -1^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} y = -\infty \Rightarrow$ TCĐ: $x=-1$.
    $\lim_{x \to \pm\infty} (y-x) = 0 \Rightarrow$ TCX: $y=x$.
-Bảng biến thiên:
    $$
    \begin{array}{|c|ccccccc|}
    \hline
    x & -\infty & & -2 & & -1 & & 0 & & +\infty \\
    \hline
    y' & & + & 0 & - & || & - & 0 & + & \\
    \hline
    y & & & -3 & & +\infty & & & +\infty \\
    & \nearrow & & & \searrow & || & \searrow & & \\
    & -\infty & & & & -\infty & & 1 & & \\
    \hline
    \end{array}
    $$

2. $y = \frac{x^2+x+1}{x+1}$
Kquả tương tự bài 1.

3. $y = \frac{x^2-x-3}{-2x-1}$
-Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}$.
$y' = \frac{-2x^2-2x-5}{(2x+1)^2}$.
Tử thức $-2x^2-2x-5 < 0$ với mọi $x$ (do $\Delta' = (-1)^2 - (-2)(-5) = -9 < 0$ và hệ số $x^2$ âm).
Vậy $y' < 0$ với mọi $x \in D$. Hàm số luôn nghịch biến.
-Giới hạn và tiệm cận:
    $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} y = -\infty \Rightarrow$ TCĐ: $x=-\frac{1}{2}$.
    $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} + \frac{9}{4(2x+1)} \Rightarrow$ TCX: $y=-\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$.
-Bảng biến thiên:
    $$
    \begin{array}{|c|ccc|}
    \hline
    x & -\infty & & -\frac{1}{2} & & +\infty \\
    \hline
    y' & & - & || & - & \\
    \hline
    y & +\infty & & +\infty \\
    & & \searrow & || & \searrow & \\
    & & & -\infty & & -\infty \\
    \hline
    \end{array}
    $$

4. $y = \frac{-x^2-2x+1}{2x-1}$
-Tập xác định:$D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\}$.
$y' = \frac{-2x^2+2x}{(2x-1)^2} = \frac{-2x(x-1)}{(2x-1)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$.
-Giới hạn và tiệm cận:
    $\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} y = -\infty$, $\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} y = +\infty \Rightarrow$ TCĐ: $x=\frac{1}{2}$.
    $y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{4} - \frac{1}{4(2x-1)} \Rightarrow$ TCX: $y=-\frac{1}{2}x - \frac{5}{4}$.
-Bảng biến thiên:
    $$
    \begin{array}{|c|ccccccc|}
    \hline
    x & -\infty & & 0 & & \frac{1}{2} & & 1 & & +\infty \\
    \hline
    y' & & - & 0 & + & || & + & 0 & - & \\
    \hline
    y & +\infty & & -1 & & +\infty & & -2 & & -\infty \\
    & & \searrow & & \nearrow & || & \nearrow & & \searrow & \\
    & & & & & -\infty & & & & \\
    \hline
    \end{array}
    $$