68
Gọi vận tốc thực của ca nô là $v_c$ (km/h).
Vận tốc dòng nước là $4$ km/h.
Tổng thời gian xuôi và ngược là $8$ giờ $20$ phút $= \frac{25}{3}$ giờ.
Ta có phương trình:
$\frac{80}{v_c + 4} + \frac{80}{v_c - 4} = \frac{25}{3}$ (Điều kiện $v_c > 4$)
$\Leftrightarrow \frac{80(v_c - 4) + 80(v_c + 4)}{(v_c + 4)(v_c - 4)} = \frac{25}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{160v_c}{v_c^2 - 16} = \frac{25}{3}$
$\Leftrightarrow 480v_c = 25(v_c^2 - 16)$
$\Leftrightarrow 25v_c^2 - 480v_c - 400 = 0$
$\Leftrightarrow 5v_c^2 - 96v_c - 80 = 0$
$\Delta = (-96)^2 - 4.5.(-80) = 9216 + 1600 = 10816$
$\sqrt{\Delta} = 104$
$v_c = \frac{96 \pm 104}{10}$
$v_{c1} = \frac{96 + 104}{10} = 20$ (thỏa mãn)
$v_{c2} = \frac{96 - 104}{10} = -0,8$ (loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là $20$ km/h.

Bài 69:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $v_c$ (km/h), vận tốc của dòng nước là $v_n$ (km/h).
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} \frac{180}{v_c + v_n} + \frac{63}{v_c - v_n} = 7 \\ \frac{81}{v_c + v_n} + \frac{84}{v_c - v_n} = 7 \end{cases}$
Đặt $X = \frac{1}{v_c + v_n}$ và $Y = \frac{1}{v_c - v_n}$. Hệ trở thành:
$\begin{cases} 180X + 63Y = 7 \\ 81X + 84Y = 7 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 4(180X + 63Y) = 28 \\ 3(81X + 84Y) = 21 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 720X + 252Y = 28 \\ 243X + 252Y = 21 \end{cases}$
$\Leftrightarrow (720X + 252Y) - (243X + 252Y) = 28 - 21$
$\Leftrightarrow 477X = 7 \Leftrightarrow X = \frac{7}{477}$
Thay $X = \frac{7}{477}$ vào $180X + 63Y = 7$:
$180 \times \frac{7}{477} + 63Y = 7$
$\frac{1260}{477} + 63Y = 7 \Leftrightarrow \frac{140}{53} + 63Y = 7$
$63Y = 7 - \frac{140}{53} = \frac{371 - 140}{53} = \frac{231}{53}$
$Y = \frac{231}{53 \times 63} = \frac{11}{159}$
Ta có:
$\begin{cases} v_c + v_n = \frac{477}{7} \\ v_c - v_n = \frac{159}{11} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2v_c = \frac{477}{7} + \frac{159}{11} = \frac{5247 + 1113}{77} = \frac{6360}{77} \\ 2v_n = \frac{477}{7} - \frac{159}{11} = \frac{5247 - 1113}{77} = \frac{4134}{77} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} v_c = \frac{3180}{77} \text{ (km/h)} \\ v_n = \frac{2067}{77} \text{ (km/h)} \end{cases}$

`70`
Gọi chiều dài khúc sông là $S$ (km).
Gọi vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là $v_c$ (km/h).
Vận tốc dòng nước là $2$ km/h.
Ta có hệ pt:
$\begin{cases} S = (v_c + 2) \times 4 \\ S = (v_c - 2) \times 5 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 4(v_c + 2) = 5(v_c - 2)$
$\Leftrightarrow 4v_c + 8 = 5v_c - 10$
$\Leftrightarrow v_c = 18$ (km/h)
Thay $v_c = 18$ vào một trong hai phương trình:
$S = (18 + 2) \times 4 = 20 \times 4 = 80$ (km).
Vậy chiều dài khúc sông là $80$ km và vận tốc ca nô lúc nước yên lặng là $18$ km/h.