`a)`

Xét `DeltaAHB` và `DeltaCAB` có:

`hat(AHB)=hat(CAB)=90^o`

`hatB` chung

`=>` $\Delta AHB \backsim \Delta CAB \ (g.g)$

`=>` `(AH)/(CA)=(HB)/(AB)` (Hai cặp cạnh tương ứng)

`=>` `(AH)/(HB)=(AC)/(AB)` `(I)`

Xét `DeltaAHC` và `DeltaBAC` có:

`hat(AHC)=hat(BAC)=90^o`

`hatC` chung

`=>` $\Delta AHC \backsim \Delta BAC \ (g.g)$

`=>` `(AH)/(BA)=(HC)/(AC)` (Hai cặp cạnh tương ứng)

`=>` `(AH)/(HC)=(AB)/(AC)` `(II)`

Nhân theo vế hai phương trình `(I)` và `(II)`, ta được:

`(AH)/(HB)*(AH)/(HC)=(AC)/(AB)*(AB)/(AC)=1`

`=>` `(AH^2)/(HB*HC)=1`

`=>` `AH^2=HB*HC`

Ta có: `BC=BH+HC=>BC^2=(BH+HC)^2=BH^2+HC^2+2*BH*HC`

`=>` `BC^2=2AH^2+BH^2+CH^2` (đpcm)

`b)`

Xét `DeltaAHB` và `DeltaAMH`, có:

`hat(AHB)=hat(AMH)=90^o`

`hat(MAH)` chung

`=>` $\Delta AHB \backsim \Delta AMH \ (g.g)$

`=>` `(AH)/(AM)=(AB)/(AH)` (Hai cặp cạnh tương ứng)

`=>` `AM*AB=AH^2`

Xét `DeltaANH` và `DeltaAHC`, có:

`hat(ANH)=hat(AHC)=90^o`

`hat(HAN)` chung

`=>` $\Delta ANH \backsim \Delta AHC \ (g.g)$

`=>` `(AN)/(AH)=(AH)/(AC)` (Hai cặp cạnh tương ứng)

`=>` `AN*AC=AH^2`

Vậy `AM*AB=AN*AC` do cùng bằng `AH^2`