Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

`1.`

Ta có `P=1/(x^2+6y^2+1)+1/(3y^2+18z^2+1)+1/(9z^2+2x^2+1)`

`->P/3=1/3 (1/(x^2+6y^2+1)+1/(3y^2+18z^2+1)+1/(9z^2+2x^2+1))`

`->P/3=1/(3x^2+18y^2+3)+1/(9y^2+54z^2+3)+1/(27z^2+6x^2+3)`

Đặt `xsqrt3=a,3y=b,3sqrt3 z=c.`

`->abc=27xyz=27 . 1/27=1` 

Từ đây `P/3=1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)`

Áp dụng BĐT Cauchy cho `2` số dương ta có:

`a^2+b^2>=2sqrt(a^2b^2)=2ab`

`b^2+1>=2sqrt(b^2)=2b`

`->a^2+2b^2+3>=2(ab+b+1)`

`->1/(a^2+2b^2+3) <= 1/(2(ab+b+1))`

Làm tương tự đối với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:

`1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)`

`<=1/2 (1/(ab+b+1)+1/(bc+c+1)+1/(ac+a+1))`

`=1/2 [(ac)/(a^2bc+abc+ac)+a/(abc+ac+1)+1/(ac+a+1)]`

`=1/2 ((ac)/(ac+a+1)+a/(ac+a+1)+1/(ac+a+1))`

`=1/2 . (ac+a+1)/(ac+a+1)=1/2`

Như vậy: `1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)<=1/2`

Hay `P/3<=1/2->P<=1/2 . 3=3/2`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1.`

Tương ứng với `x=1/sqrt3 ; y=1/3 ; z=1/(3sqrt3)`

Vậy Max`P=3/2` khi `x=1/sqrt3 ; y=1/3 ; z=1/(3sqrt3)`

`2.`

`{(x^3+y^3=3x^2-3x+1   (1)),(xy+x+2y=1     (2)):}`

Từ PT `(1)` suy ra `y^3=3x^2-3x+1-x^3=(1-x)^3.` Do đó `y=1-x.`

Thế vào PT `(2)` ta được:

`x(1-x)+x+2(1-x)=1.`

`x(1-x)+x-1+2(1-x)=0`

`x(1-x)-(1-x)+2(1-x)=0`

`(1-x)(x-1+2)=0`

`(1-x)(x+1)=0`

$\left[\begin{matrix} 1-x=0\\ x+1=0\end{matrix}\right.$ hay $\left[\begin{matrix} x=1\\ x=-1\end{matrix}\right.$

Với `x=1` thì `y=1-x=1-1=0.`

Với `x=-1` thì `y=1-x=1-(-1)=1+1=2.`

Vậy hệ phương trình đã cho có `2` nghiệm `(x;y)` là `(1;0);(-1;2).`