ABCD bình hành -> AB=CD ; AD=BC ; ∠B=∠D

K,E trung điểm lần lượt AB, CD
-> AK=BK=CE=DE=AB/2=CD/2

O giao điểm 2 đường chéo của ABCD bình hành

-> O trung điểm của cả AC và BD

Xét t/g BCK và DAE -> AD=BC ; BK=DE ; ∠B=∠D

-> bằng nhau (c-g-c)

-> AE=CK

Có: AK=CE ; AE=CK

-> AECK bình hành

####
AECK bình hành -> AC cắt EK tại trung điểm cả 2 đoạn

O trung điểm AC (cmtr)

-> O trung điểm EK

-> E-O-K thẳng hàng

####

AECK bình hành -> AE//CK

-> KM//AN

-> T/g BKM đồng dạng BAO

-> KM/AN=BK/AB=BM/BN=1/2 (BK=AB/2 cmtr) (*)

-> 2BM=BN

Mà BN=BM+MN

-> BM=MN

#
Chứng minh tương tự -> EN//CM

-> DEN đồng dạng DCM

-> EN/CM=DE/DC=1/2=DN/DM (*)

....

-> DN=MN

---> BM=MN=DN

####

Từ (*) -> EN/CM=KM/AN=1/2

-> 2KM=AN ; 2EN=CM

AECK bình hành -> AE=CK

-> AN+EN=KM+CM

--> 2KM+EN=KM+2EN

-> KM=EN

-> 2EN=CM=2KM

-> KM=CM/2

-> CK=KM+CM=1,5CM

-> CM=CK/1,5

-> KM=CK/3

-> 3KM=CK

-> Đpcm