Giúp mình ý c) Tiệm Cận Xiên ạ.

Giải chi tiết ạ

TXĐ: `D=(-oo;-3] uu [1;+oo)`

Gọi `y=ax+b` là tiệm cận xiên của `f(x)`

Ta có: `lim_{x to +-oo} (sqrt(4x^2+8x-12)-(ax+b))`

`=lim_{x  to +-oo} (4x^2+8x-12-(ax+b)^2)/(sqrt(4x^2+8x-12)+ax+b)`

`=lim_{x to +-oo} ((4-a^2)x^2+(8-2ab)x-12-b^2)/(sqrt(4x^2+8x-12)+ax+b)=0`

`=>` `{(4-a^2=0),(8-2ab=0):}`

`=>` `[({(a=2),(b=2):}  ("Khi"  x to +oo)),({(a=-2),(b=-2):}  ("Khi"  x to -oo)):}`

`=>` `y=f(x)` có `2` tiệm cận xiên `y=2x+2` và `y=-2x-2`

`a)` $\fbox{SAI}$

`y=f(x)` có `2` tiệm cận xiên `y=2x+2` và `y=-2x-2` nhưng `y=-2x-2` không đồng biến trên `RR`

`b)` $\fbox{ĐÚNG}$

`(Delta_1):  y=2x+2` đi qua điểm `(1;4)`

`c)` $\fbox{ĐÚNG}$

Do `b < 0 => (Delta_2):  y=-2x-2<=>2x+y+2=0`

Gọi `M(x_0;sqrt(4x_0^2+8x_0-12))` `(x_0 in (-oo;-3])`

`=>` `d(M,Delta_2)=(|2x_0+sqrt(4x_0^2+8x_0-12)+2|)/(sqrt5)`

Xét `g(x)=1/sqrt5*|2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2|` với `x in (-oo;-3]`

`=>` `g^'(x)=1/sqrt5*((2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2)(2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2)^')/(|2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2|)`

`=1/sqrt5*((2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2)*(2+(2x+2)/(sqrt(x^2+2x-3))))/(|2x+sqrt(4x^2+8x-12)+2|)`

Với `x <= -3`, ta có: `sqrt(4x^2+8x-12) < sqrt(4x^2+8x+4)=sqrt((2x+2)^2)`

`=>` `sqrt(4x^2+8x-12) < |2x+2|  forall  x <= -3`

Mà với `x <= -3` thì `2x + 2 < 0 => |2x+2|=-2x-2`

`=>` `sqrt(4x^2+8x-12) < -2x-2  forall  x <= -3`

`=>` `2x+sqrt(4x^2+8x-12) + 2 < 0  forall  x <= -3`

Giả sử: `2+(2x+2)/(sqrt(x^2+2x-3)) >= 0` với `x <= -3`

`=>` `(x+1)/(sqrt(x^2+2x-3)) >= -1`

`=>` `x+1 >= -sqrt(x^2+2x-3)`

`=>` `sqrt(x^2+2x-3) >= -x-1`

Với `x <= -3` thì `-x-1 > 0` nên ta có: `x^2+2x-3 >= (-x-1)^2` (Có thể bình phương vì hai vế đều dương)

`=>` `x^2+2x-3 > = x^2+2x+1`

`=>` `-3 >= 1` (Vô lý)

`=>` `2+(2x+2)/(sqrt(x^2+2x-3)) < 0` với `x <= -3`

Như vậy: `g^'(x) > 0` với `x in (-oo;-3]`

`=>` `g(x)` đồng biến trên `(-oo;-3]`

`=>` `max g(x)=g(-3)=(4sqrt5)/5 ~~ 1,79 < 2`

`d)` $\fbox{SAI}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(Delta_1)` và `(Delta_2)` là:

`2x+2=-2x-2`

`=>` `4x=-4`

`=>` `x=-1`