Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:
$A = -x^2 - 4x - y^2 + 2y$
$A = -(x^2 + 4x) - (y^2 - 2y)$
$A = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - (y^2 - 2y + 1 - 1)$
$A = -(x+2)^2 + 4 - (y-1)^2 + 1$
$A = -(x+2)^2 - (y-1)^2 + 5$
Vì $-(x+2)^2 \le 0$ và $-(y-1)^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $A \le 5$
Giá trị lớn nhất của $A$ là $5$ khi $x+2=0$ và $y-1=0$, tức là $x=-2$ và $y=1$.

b) Ta có:
$B = 1 - 5x^2 - y^2 - 4xy + x$
$B = -(y^2 + 4xy + 4x^2) - x^2 + x + 1$
$B = -(y+2x)^2 - (x^2 - x - 1)$
$B = -(y+2x)^2 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 1)$
$B = -(y+2x)^2 - (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 1$
$B = -(y+2x)^2 - (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$
Vì $-(y+2x)^2 \le 0$ và $-(x-\frac{1}{2})^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $B \le \frac{5}{4}$
Giá trị lớn nhất của $B$ là $\frac{5}{4}$ khi $y+2x=0$ và $x-\frac{1}{2}=0$, tức là $x=\frac{1}{2}$ và $y=-1$.

c) Ta có:
$C = -x^2 + 2x - y^2 - 4y + 6$
$C = -(x^2 - 2x) - (y^2 + 4y) + 6$
$C = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - (y^2 + 4y + 4 - 4) + 6$
$C = -(x-1)^2 + 1 - (y+2)^2 + 4 + 6$
$C = -(x-1)^2 - (y+2)^2 + 11$
Vì $-(x-1)^2 \le 0$ và $-(y+2)^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $C \le 11$
Giá trị lớn nhất của $C$ là $11$ khi $x-1=0$ và $y+2=0$, tức là $x=1$ và $y=-2$.

d) Ta có:
$D = -x^2 - 2x - y^2 + 4y + 6$
$D = -(x^2 + 2x) - (y^2 - 4y) + 6$
$D = -(x^2 + 2x + 1 - 1) - (y^2 - 4y + 4 - 4) + 6$
$D = -(x+1)^2 + 1 - (y-2)^2 + 4 + 6$
$D = -(x+1)^2 - (y-2)^2 + 11$
Vì $-(x+1)^2 \le 0$ và $-(y-2)^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $D \le 11$
Giá trị lớn nhất của $D$ là $11$ khi $x+1=0$ và $y-2=0$, tức là $x=-1$ và $y=2$.

e) Ta có:
$E = -x^2 - y^2 - 2(x+y) + 3$
$E = -x^2 - 2x - y^2 - 2y + 3$
$E = -(x^2 + 2x) - (y^2 + 2y) + 3$
$E = -(x^2 + 2x + 1 - 1) - (y^2 + 2y + 1 - 1) + 3$
$E = -(x+1)^2 + 1 - (y+1)^2 + 1 + 3$
$E = -(x+1)^2 - (y+1)^2 + 5$
Vì $-(x+1)^2 \le 0$ và $-(y+1)^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $E \le 5$
Giá trị lớn nhất của $E$ là $5$ khi $x+1=0$ và $y+1=0$, tức là $x=-1$ và $y=-1$.

f) Ta có:
$F = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 2y - 1$
$F = -(x^2 - 2xy + y^2) - y^2 - 2y - 1$
$F = -(x-y)^2 - (y^2 + 2y + 1)$
$F = -(x-y)^2 - (y+1)^2$
Vì $-(x-y)^2 \le 0$ và $-(y+1)^2 \le 0$ với mọi $x, y$
Do đó $F \le 0$
Giá trị lớn nhất của $F$ là $0$ khi $x-y=0$ và $y+1=0$, tức là $y=-1$ và $x=-1$