Ta có: `HM \bot AC` tại `M` (gt)

           `AB \bot AC` tại `A` (`ABC` vuông tại `A`)

`=> HM //// AB`

`\triangle ACP` có `HM //// AB`:

`(QM)/(PA)=(CQ)/(CP)`  (hệ quả định lí Thales)

`\triangle BCP` có `HM //// AB`:

`(QH)/(PB)=(CQ)/(CP)`  (hệ quả định lí Thales)

`=> (QH)/(PB)=(QM)/(PA)`

Ta có: `PA=PB`  (`P` là trung điểm `AB`)

`=> (PA)/(PB)=1`

`\triangle ABC` có `HM //// AB`:

`(CM)/(MA)=(HC)/(HB)`  (định lí Thales)

`=> (CM)/(MA) . (HB)/(HC) = (HC)/(HB) . (HC)/(HB) = 1`

`=> (PA)/(PB) . (CM)/(MA) . (HB)/(HC) = 1     (1)`

Gọi `M'` là giao điểm của `BI` và `AC`

Từ `C` kẻ đường thẳng song song với `AB` cắt `BM' , AH` tại `D,E`

`\triangle AIP` có `AP //// CE`:

`(AP)/(CE)=(IP)/(IC)`  (hệ quả định lí Thales)

`\triangle BIP` có `BP //// CD`:

`(BP)/(CD)=(IP)/(IC)`  (hệ quả định lí Thales)

`=> (AP)/(CE)=(BP)/(CD)`

`=> (AP)/(BP)=(CE)/(CD)`

`\triangle CMD` có `CD //// AB`:

`(CM')/(AM')=(DC)/(AB)`  (hệ quả định lí Thales)

`\triangle AHB` có `AB //// CE`:

`(HB)/(HC)=(AB)/(CE)`  (hệ quả định lí Thales)

`=> (AP)/(BP) . (CM')/(AM') . (HB)/(HC) = (CE)/(CD) . (DC)/(AB) . (AB)/(CE) = 1     (2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có:

`(CM)/(MA) = (CM')/(AM')`

`=> M` trùng với `M'`

`=> B,I,M` thẳng hàng