Giải cho tôi theo hệ phương trình bằng phương pháp ẩn phụ ab

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{1}\bigg) \begin {cases}  2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end {cases}$

Đặt $u = x + y$ và $v = x - y$, ta có:

$\begin {cases} 2u + 3v = 4 \\ u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} 2u + 3v = 4 \\ 2u + 4v = 10 \end {cases}$

$\begin {cases} 2u + 3v - 2u - 4v = 4 - 10 \\ u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} -v = -6 \\ u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} v = 6 \\ u + 12 = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} v = 6 \\ u = -7 \end {cases}$

$\begin {cases} x - y = 6 \\ x + y = -7 \end {cases}$

$\begin {cases} x - y + x + y = 6 - 7 \\ x + y = -7 \end {cases}$

$\begin {cases} 2x = -1 \\ x + y = -7 \end {cases}$

$\begin {cases} x = -\dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} + y = -7 \end {cases}$

$\begin {cases} x = -\dfrac{1}{2} \\ y = -\dfrac{13}{2} \end {cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; y) = \bigg(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{13}{2}\bigg)$

$\textbf{2}\bigg) \begin {cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}\end {cases} (x, y \ne 0)$

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y}$, ta có:

$\begin {cases} u + v = \dfrac{4}{5} \\ u - v = \dfrac{1}{5} \end {cases}$

$\begin {cases} u + v + u - v = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} \\ u - v = \dfrac{1}{5} \end {cases}$

$\begin {cases} 2u = 1 \\ u - v = \dfrac{1}{5} \end {cases}$

$\begin {cases} u = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} - v = \dfrac{1}{5} \end {cases}$

$\begin {cases} u = \dfrac{1}{2} \\ v = \dfrac{3}{10} \end {cases}$

$\begin {cases} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{10} \end {cases}$

$\begin {cases} x = 2 \\ y = \dfrac{10}{3} \end {cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; y) = \bigg(2; \dfrac{10}{3}\bigg)$

$\textbf{4}\bigg) \begin {cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{y - 1} = 3 \\ \dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{1 - y} = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{y - 1} = 3 \\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y - 1} = 5 \end {cases}$

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y - 1}$, ta có:

$\begin {cases} 2u + 4v = 3 \\ 4u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} 4u + 8v = 6 \\ 4u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} 4u+ 8v - 4u - 2v = 6 - 5 \\ 4u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} 6v = 1 \\ 4u + 2v = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} v = \dfrac{1}{6} \\ 4u + \dfrac{1}{3} = 5 \end {cases}$

$\begin {cases} v = \dfrac{1}{6} \\ 4u = \dfrac{14}{3} \end {cases}$

$\begin {cases} v = \dfrac{1}{6} \\ u = \dfrac{7}{6} \end {cases}$

$\begin {cases} \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{x} =\dfrac{7}{6} \end {cases}$

$\begin {cases} y - 1 = 6 \\ x = \dfrac{6}{7} \end {cases}$

$\begin {cases} y = 7 \\ x = \dfrac{6}{7} \end {cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x; y) = \bigg(\dfrac{6}{7}; 7\bigg)$

$\textbf{5}\bigg) \begin {cases} (x - 2)^2 - 2y^3 = 6 \\ 3(x - 2)^2 + 5y^3 = 7 \end {cases}$

Đặt $u = (x - 2)^2$ và $v = y^3$, ta có:

$\begin {cases} u - 2v = 6 \\ 3u + 5v = 7 \end {cases}$

$\begin {cases} 3u - 6v = 18 \\ 3u + 5v = 7 \end {cases}$

$\begin {cases} 3u - 6v - 3u - 5v = 18 - 7 \\ 3u + 5v = 7 \end {cases}$

$\begin {cases} -11v = 11 \\ 3u + 5v = 7 \end {cases}$

$\begin {cases} v = -1 \\ 3u - 5 = 7 \end {cases}$

$\begin {cases} v = -1 \\ 3u= 12 \end {cases}$

$\begin {cases} v = -1 \\ u= 4 \end {cases}$

$\begin {cases} y^3 = -1 \\ (x - 2)^2 = 4 \end {cases}$

$\begin {cases} y = -1 \\ \left[ \begin{array}{l}x-2=2\\x-2=-2\end{array} \right.  \end {cases}$

$\begin {cases} y = -1 \\ \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=0\end{array} \right.  \end {cases}$

Vậy hệ phương trình có $2$ nghiệm là $(x; y) = (4; -1)$ và $(x; y) = (0; -1)$