Ta có `a+b+c=3`

Xét mẫu số thứ nhất:

`3a + bc = (a+b+c)a + bc`

`= a^2 + ab + ac + bc`

`= a(a+b) + c(a+b)`

`= (a+b)(a+c)`

Tương tự, ta có:

`3b + ca = (a+b)(b+c)`

`3c + ab = (a+c)(b+c)`

Do đó, vế trái (VT) của phương trình trở thành:

`VT = 1/((a+b)(a+c)) + 1/((a+b)(b+c)) + 1/((b+c)(a+c))`

`VT = (b+c)/((a+b)(b+c)(a+c)) + (a+c)/((a+b)(b+c)(a+c)) + (a+b)/((a+b)(b+c)(a+c))`

`VT = (b+c+a+c+a+b)/((a+b)(b+c)(a+c))`

`VT = (2a+2b+2c)/((a+b)(b+c)(a+c))`

`VT = (2(a+b+c))/((a+b)(b+c)(a+c))`

Thay `a+b+c=3` vào, ta được:

`VT = (2*3)/((a+b)(b+c)(a+c)) = 6/((a+b)(b+c)(a+c))`

Xét `VP:`

`VP = 6/sqrt((3a+bc)(3b+ca)(3c+ab))`

`VP = 6/sqrt(((a+b)(a+c))((a+b)(b+c))((a+c)(b+c)))`

`VP = 6/sqrt((a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2)`

`VP = 6/sqrt([(a+b)(b+c)(a+c)]^2)`

Vì `a, b, c` là các số thực dương nên `a+b > 0`, `b+c > 0`, `a+c > 0`

`VP = 6/((a+b)(b+c)(a+c))`

Vậy `VT = VP` (điều phải chứng minh).