Bài 1: Để làm xong một công việc, nếu công nhân A và B cùng làm thì mất 6 giờ. Nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 1 giờ 30 phút. Nếu công nhân C và A làm thì mất 3 giờ 36 phút. Nếu cả 3 công nhân cùng làm thì bao lâu xong công việc.

Bài 2 : Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm theo thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến kỹ thuật nên đã tăng năng suất được 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy, người đó đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hỏi trong 1 giờ, người đó dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm?

Nếu kẻ bảng thì càng tốt ạ. Cảm ơn

Gọi năng suất làm việc của công nhân A, B, C lần lượt là $x, y, z$ (công việc/giờ).
Toàn bộ công việc được quy ước là 1 đơn vị.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:
+Công nhân A và B cùng làm thì mất 6 giờ:
    $6(x+y)=1 \Rightarrow x+y = \frac{1}{6}$ (1)
+Công nhân B và C cùng làm thì mất 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ:
    $1.5(y+z)=1 \Rightarrow y+z = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$ (2)
+Công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút = 3,6 giờ:
    $3.6(z+x)=1 \Rightarrow z+x = \frac{1}{3.6} = \frac{5}{18}$ (3)
=>Cộng ba phương trình (1), (2), (3) lại với nhau:
$(x+y) + (y+z) + (z+x) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{5}{18}$
$2(x+y+z) = \frac{3}{18} + \frac{12}{18} + \frac{5}{18}$
$2(x+y+z) = \frac{20}{18}$
$2(x+y+z) = \frac{10}{9}$
$x+y+z = \frac{10}{9} \div 2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$
=>Nếu cả 3 công nhân cùng làm thì năng suất chung là $x+y+z = \frac{5}{9}$ công việc/giờ.
Thời gian để cả 3 công nhân cùng làm xong công việc là:
$T = \frac{1}{x+y+z} = \frac{1}{\frac{5}{9}} = \frac{9}{5}$ giờ.
Đổi $\frac{9}{5}$ giờ: $\frac{9}{5}$ giờ = $1$ giờ và $\frac{4}{5} \times 60 = 48$ phút.
Vậy, nếu cả 3 công nhân cùng làm thì mất 1 giờ 48 phút để xong công việc.

`-`Bài 2:
Gọi năng suất dự kiến của người đó là $x$ (sản phẩm/giờ), $x>0$.
Tổng số sản phẩm dự định làm là 120 sản phẩm.
Thời gian dự định làm xong 120 sản phẩm là $\frac{120}{x}$ (giờ).
Người đó làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, số sản phẩm làm được là $2x$ (sản phẩm).
`=>`Số sản phẩm còn lại phải làm là $120-2x$ (sản phẩm).
`-`Sau khi làm được 2 giờ, người đó tăng năng suất thêm 3 sản phẩm mỗi giờ, nên năng suất mới là $x+3$ (sản phẩm/giờ).
Thời gian để làm nốt số sản phẩm còn lại là $\frac{120-2x}{x+3}$ (giờ).

Tổng thời gian thực tế làm việc là $2 + \frac{120-2x}{x+3}$ (giờ).
Thời gian hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút = 1,6 giờ.

Ta có p/trình:
Thời gian dự định - Thời gian thực tế = 1,6
$\frac{120}{x} - \left(2 + \frac{120-2x}{x+3}\right) = 1.6$
$\frac{120}{x} - 2 - \frac{120-2x}{x+3} = 1.6$
$\frac{120}{x} - \frac{120-2x}{x+3} = 1.6 + 2$
$\frac{120(x+3) - x(120-2x)}{x(x+3)} = 3.6$
$\frac{120x+360-120x+2x^2}{x^2+3x} = 3.6$
$\frac{2x^2+360}{x^2+3x} = 3.6$
$2x^2+360 = 3.6(x^2+3x)$
$2x^2+360 = 3.6x^2+10.8x$
$3.6x^2 - 2x^2 + 10.8x - 360 = 0$
$1.6x^2 + 10.8x - 360 = 0$
$16x^2 + 108x - 3600 = 0$
$4x^2 + 27x - 900 = 0$
$\Delta = b^2-4ac = 27^2 - 4(4)(-900) = 729 + 14400 = 15129$.
$\sqrt{15129} = 123$.
->
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-27+123}{2 \cdot 4} = \frac{96}{8} = 12$
$x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-27-123}{2 \cdot 4} = \frac{-150}{8} = -\frac{75}{4}$ (loại vì $x>0$)

Vậy, trong 1 giờ, người đó dự kiến làm 12 sản phẩm.

`@`Bảng:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Đại lượng} & \text{Năng suất (sản phẩm/giờ)} & \text{Số sản phẩm} & \text{Thời gian (giờ)} \\
\hline
\text{Dự định} & x & 120 & \frac{120}{x} \\
\hline
\text{Thực tế (2 giờ đầu)} & x & 2x & 2 \\
\hline
\text{Thực tế (còn lại)} & x+3 & 120-2x & \frac{120-2x}{x+3} \\
\hline
\end{array}
$$