Đặt `(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) / 2 = k^2`

Điều kiện: `k` là một số nguyên không âm

`a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 2k^2`

`2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 4k^2`

`(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 4k^2`

`(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 4k^2`

Đặt `x = a-b`, `y = b-c`, `z = c-a`

Vì `a, b, c` là các số nguyên nên `x, y, z` cũng là các số nguyên

Ta có hệ phương trình: `{ (x^2 + y^2 + z^2 = 4k^2), (x + y + z = 0) :}`

Giả sử `a, b, c` không đồng thời bằng nhau, tức là `x, y, z` không đồng thời bằng 0

Đặt `d = "ƯCLN"(x, y, z)`

Khi đó `x = dx'`, `y = dy'`, `z = dz'` với `x', y', z'` là các số nguyên và `"ƯCLN"(x', y', z') = 1`

Thay vào phương trình trên:

`d^2(x'^2 + y'^2 + z'^2) = 4k^2`

`=> x'^2 + y'^2 + z'^2` phải là một số chính phương

Đặt `x'^2 + y'^2 + z'^2 = n^2` với `n` là số nguyên

Ta cũng có `x' + y' + z' = (x+y+z)/d = 0`

Từ `x' + y' + z' = 0`

`=> z' = -(x' + y')`

Thay vào `x'^2 + y'^2 + z'^2 = n^2`:

`x'^2 + y'^2 + (-(x' + y'))^2 = n^2`

`x'^2 + y'^2 + x'^2 + 2x'y' + y'^2 = n^2`

`2x'^2 + 2x'y' + 2y'^2 = n^2`

`2(x'^2 + x'y' + y'^2) = n^2`

Đặt `n = 2m` với `m` là số nguyên

`2(x'^2 + x'y' + y'^2) = (2m)^2 = 4m^2`

`x'^2 + x'y' + y'^2 = 2m^2`

Nếu `x'` lẻ và `y'` lẻ: `lẻ + lẻ + lẻ = lẻ`. Vế trái lẻ, trong khi vế phải `2m^2` chẵn. Vô lý

Nếu một trong hai số là chẵn, số còn lại là lẻ: `chẵn + chẵn + lẻ = lẻ`. Vế trái lẻ, vế phải chẵn. Vô lý.

Do đó, cả `x'` và `y'` đều phải là số chẵn.

Nếu `x'` chẵn và `y'` chẵn, từ `x' + y' + z' = 0` suy ra `z'` cũng phải chẵn

Vậy `x', y', z'` đều là số chẵn.

Điều này mâu thuẫn với `"ƯCLN"(x', y', z') = 1`

Mâu thuẫn này xảy ra do ta giả sử `x, y, z` không đồng thời bằng 0

Vậy `x = y = z = 0`.

`=> a-b = 0`, `b-c = 0`, `c-a = 0`

`=> a = b = c` (điều phải chứng minh)