Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BDH,\Delta BEC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to \Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$

$\to BH.BE=BD.BC$

Tương tự: $CH.CF=CD.CB$

$\to BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.CB=BC^2$

b.Xét $\Delta BDA,\Delta BFC$ có:

Chung $\hat B$

$\hat D=\hat F(=90^o)$

$\to \Delta BDA\sim\Delta BFC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BF}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to \Delta BDF\sim\Delta BAC(c.g.c)$

$\to \widehat{BDF}=\widehat{BAC}$

Tương tự: $\widehat{EDC}=\widehat{BAC}$

$\to \widehat{FDB}=\widehat{EDC}$

$\to 90^o- \widehat{FDB}=90^o-\widehat{EDC}$

$\to \widehat{HDF}=\widehat{HDE}$

$\to DH$ là phân giác $\widehat{EDF}$

Tương tự: $EH, FH$ là phân giác $\Delta DEF$

$\to H$ cách đều ba cạnh $\Delta DEF$

c.Ta có:

$\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}$

$=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$

$=1$

d.Gọi $I$ là giao trung trực $HC$ và phân giác $\widehat{BHC}$

$\to I$ cố định

Ta có: $I\in$ trng trực $HC$

$\to IH=IC$

$\to \Delta INC$ cân tại $I$

Mà $\widehat{IHM}=\widehat{IHN}=\widehat{IHC}=\widehat{ICH}=\widehat{ICN}$

Do $HM=CN$

$\to \Delta IHM=\Delta ICN(c.g.c)$

$\to IM=IN$

$\to I\in$ trung trực $MN$
$\to$Trung trực $MN$ luôn đi qua $I$ cố định