Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để làm sáng tỏ bất đẳng thức cần chứng minh thì ta đi chứng minh BĐT:

`(2a^5+3b^5)/(ab) >=5a^3-10ab^2+10b^3` với `a,b>=0`

Thật vậy:

`(2a^5+3b^5)/(ab) >=5a^3-10ab^2+10b^3`

`2a^5+3b^5>=ab(5a^3-10ab^2+10b^3)`

`2a^5+3b^5-ab(5a^3-10ab^2+10b^3)>=0`

`2a^5+3b^5-5a^4b+10a^2b^3-10ab^4>=0`

`(a-b)^4(2a+3b)>=0` (luôn đúng)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

`(2b^5+3c^5)/(bc)>=5b^3-10bc^2+10c^3`

`(2c^5+3a^5)/(ca)>=5c^5-10ca^2+10a^3`

Từ đó, cộng theo vế của `3` đẳng thức ta được:

`(2a^5+3b^5)/(ab)+(2b^5+3c^5)/(bc)+(2c^5+3a^5)/(ca)`

`>=5a^3-10ab^2+10b^3+5b^3-10bc^2+10c^3+5c^5-10ca^2+10a^3`

`=15a^3+15b^3+15c^3-10ab^2-10bc^2-10ca^2`

`=15(a^3+b^3+c^3)-10(ab^2+bc^2+ca^2)`

Chứng minh hoàn tất.